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up:: application linéaire title:: "f : E \to \mathbb{R}, E un espace vectoriel" #maths/algèbre

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[!definition] Forme linéaire Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Une application linéaire f est une application de E \to \mathbf{K} ^definition

[!definition]- Donner la définition d'une forme linéaire Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de base d'un espace vectoriel \mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3, \dots, e_{n}) Pour définir une forme linéaire \varphi de E, on peut donner une des équations suivantes :

• \varphi(\lambda_1e_1 + \lambda_2e_2 + \lambda_3e_3 + \cdots + \lambda _{n}e_{n}) = \lambda_1\varphi(e_1) + \lambda_1\varphi(e_2) + \lambda_1\varphi(e_3) + \cdots + \lambda _{n}\varphi(e_{n}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \Big( \lambda _{k}\varphi(e_{k}) \Big)
  • on doit donner les valeurs de tous les \lambda _{k}\varphi(e_{k})
• \varphi(e_1+e_2+e_3+\cdots+e_{n}) = \varphi(e_1) + \varphi(e_2)+\varphi(e_3) + \cdots + \varphi(e_{n}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \Big( \varphi(e_{k}) \Big)
  • on doit donner les valeurs de tous les \varphi(e_{k})
• \begin{cases} \varphi(e_{1}) = \lambda_1\\ \varphi(e_2) = \lambda_2\\ \varphi(e_3)=\lambda_3 \\ \vdots\\ \varphi(e_{n}=\lambda _{n})\end{cases}
  • on doit doner les valeurs de tous les \lambda _{k}
• [\varphi]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}\lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & \cdots & \lambda _{n}\end{pmatrix}
  • on donne directement la matrice de \varphi dans \mathcal{B}

Propriétés

Soit f une forme linéaire de E

• \dim (\ker \varphi) = \dim E - 1

  • Exemple:
    • \varphi(x, y, z) = 2x-y-z
    • \ker \varphi = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2x - y - z = 0 \}
    • donc \ker \varphi est un plan vectoriel
  • évident par le théorème du rang, car \text{rg}(\varphi) = 1

• toute forme linéaire est surjection

• \ker \varphi = \ker \psi \iff \varphi = \lambda \psi \mid _{\lambda \in \mathbf{K}^{*}}

[!query] Sous-notes de =this.file.link

TABLE title
FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
WHERE file != this.file
SORT up.up.up.up, up.up.up, up.up, up