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antisymétrique

up:: forme bilinéaire title:: "$f(u, v) = -f(v, u)$" #maths/algèbre

[!definition] Forme bilinéaire antisymétrique Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit f une forme bilinéaire de E^{2} \to \mathbf{K} f est antisymétrique ssi : \boxed{f(u, v) = -f(v, u)} quels que soient (u, v) \in E^{2} ^definition

[!definition]- Définition Formelle Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Une application f est une forme bilinéaire antisymétrique ssi :

• f: E^{2} \to \mathbf{K} (2 paramètres, à valeurs scalaires)
• elle est linéaire par rapport à ses deux paramètres
  • f((a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2}; v)) = a_{1}f((u_{1}, v))+a_{2}f((u_{2}, v)) (application linéaire par rapport à u)
  • f((u; a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})) = a_{1}f((u, v_{1}))+a_{2}f((u,v_{2})) (application linéaire par rapport à v)
• elle est antisymétrique
  • f(u, v) = -f(v, u) ^definition

Propriétés

Soit f une forme bilinéaire de E^{2} \to \mathbf{K}

• f est antisymétrique \iff matrice d'une forme bilinéaire f est matrice antisymétrique