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sr-due, sr-interval, sr-ease, alias

sr-due	sr-interval	sr-ease	alias
2022-09-12	22	277	équivalente

up::fonction sibling::fonction négligeable, fonction dominée en un point title::"$f \sim_{x_{0}} g \iff \lim\limits_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$" #maths/analyse

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[!definition] Fonctions équivalentes Soient deux fonction f et g, on dit qu'elles sont équivalentes en $x_0\in\overline{\mathbb{R}}$, et on note f(x)\sim_{x_0}g(x) quand : \boxed{f(x)\sim_{x_0}g(x) \iff \lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1} ^definition

[!attention] On n'écrit pas 0 \sim_{x_{0}} f car c'est évidemment toujours faux f \sim_{x_{0}} 0 n'a pas de sens

[!definition] autre définition f \sim_{x_{0}} g si il existe h telle que :

• \lim\limits_{x_{0}}h = 1
• f = hg Dans cette définition, on peut avoir f \sim_{x_{0}} 0 Si x_{0} = \pm \infty, on peut définir h seulement après b \geq x_{0}

[!attention] équivalence à 0 Pour qu'une fonction f soit équivalente à 0 en x_{0}, il faut qu'elle soit égale à 0 sur tout le voisinage (aussi proche que l'on veut) de 0. **Exemple : ** \frac{1}{x} \not\sim_{+\infty} 0 car on ne peut pas trouver de fonction h pour laquelle \frac{1}{x} = 0\times h(x) pour tout x suffisament grand (l'égalité est vraie seulement à la limite) **Exemple : ** \sin x-x \sim_{0} 1 (car \frac{\sin x}{x} \sim_{0} 1)

^definition-alternative

Propriétés

• L'équivalence est une relation d'équivalence.

• f \sim g \implies f \circ \varphi \sim g \circ \varphi

  • composition de fonctions à droite
  • la composition à gauche ne fonctionne pas
    • x+1 \sim_{+\infty} x alors que e^{x+1}\not\sim_{+\infty}e^{x}
    • la composition fonctionne avec \ln :
      • f \sim g \implies \ln(f) \sim \ln(g)

• Si \displaystyle\lim_{x \to x_{0}} f(x) = a \mid_{a \in \mathbb{R}^{*}} on a : f \sim_{x_{0}} a

  • Si a = 0 ou a = \pm\infty alors f \nsim_{x_{0}} a

• f \sim_{x_{0}} g \iff \alpha f \sim_{x_{0}} \alpha g \Big|_{\text{si } \alpha \neq 0}

  • stable par multiplication par un scalaire non nul

• f \sim g \iff f^{\alpha} \sim g^{\alpha} \Big|_{\alpha \in \mathbb{R}}

  • stable par puissance

• f \sim_{x_{0}} g \iff f = g + o_{x_{0}}(g)

  • démonstration correspondance équivalence et domination

• avec les polynôme : Soit P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}

  • au voisinage de 0 : P(x)\sim a_{k_{0}}x^{k_{0}} où a_{k_{0}} est le premier coefficient non nul de P(x)
  • au voisinage de \pm\infty : P(x)\sim a_{n}x^{n}