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up::trigonométrie, fonctions description::"$\mathbb{R} \setminus \frac{\pi}{2}\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$", "$x \mapsto \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$" derivative::$1+\tan^{2}(x) = \frac{1}{\cos^{2}(x)}$ primitive::"$- \ln \left| \cos x \right| + \text{cste.}$" title::$\tan$ #maths/analyse #maths/trigonométrie
Notée \tan. Fonction trigonométrique (fonction circulaire).
Elle est une application sur \{x\in\mathbb{R} | \cos x\neq 0\} = \mathbb{R}\setminus\left\{ \dfrac\pi2 + k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\}
Elle est fonction impaire, fonction croissante et de période \pi
\begin{align*} f: \quad & \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\} \to \mathbb{R}\\ & x \mapsto \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{align*}
Propriétés
\tan(x) = \dfrac{\sin x}{\cos x} (voir fonction sinus et fonction cosinus)
On peut déduire de cette formule la dérivation de \tan.
Dérivée
La dérivation de \tan est 1+\tan^2 :
$$\begin{aligned}
\tan'(x) &= \left(x\mapsto\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)'(x)\
&= \dfrac{\cos^{2}(x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2(x)}} = \frac{1}{\cos^{2}}\
&= 1+\dfrac{\sin^{2(x)}}{\cos^{2(x)}}\
&= 1 + \tan^2(x)
\end{aligned}$$
Réciproque
La fonction \tan/_{[-\frac\pi2; \frac\pi2]} possède une réciproque, la fonction arctangente.