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up::fonctions #maths/analyse
La fonction signe, notée \mathrm{sgn} ou \mathrm{sg} (parfois \mathrm{sign}), est une fonction qui extrait le signe d'un nombre réel.
[!definition] Fonction Signe $$\mathrm{sgn}(x) = \left{\begin{array}{lr} -1 & \text{si } x < 0\ 0 & \text{si } x = 0\ 1 & \text{si } x > 0 \end{array}\right.$$ ^definition
y = -1 | x < 0 | blue
(0, 0) | blue
y = 1 | x > 0 | blue
^graphe
Autres définitions
$$\sgn(x) = \left{\begin{array}{ll} 0 & \text{si } x = 0\ \dfrac{|x|}{x} \text{ ou } \dfrac{x}{|x|} & \text{si } x \neq 0 \end{array} \right.$$
Propriétés
Tout nombre réel peut être exprimé comme le produit de sa valeur absolue et de son signe :
\forall x\in\mathbb{R}, x = \sgn(x)|x|
La fonction signe peut être liée à la fonction de Heaviside :
\forall x\in\mathbb{R}, \sgn(x) = 2H(x) - 1
Primitive
La fonction signe peut être vue comme la dérivation en tout réel différent de 0 de la fonction valeur absolue :
\forall x\in\mathbb{R}^*, \dfrac{\d|x|}{\d x} = \sgn(x)