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alias: [ "réciproque" ]
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up::[[fonction]]
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#maths/analyse
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Soit $f$ une [[bijection]] de $E$ dans $F$:
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$$f: E \rightarrow F$$
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On sait qu'elle est [[injection|injective]] et [[surjection|surjective]], donc $\forall y \in F, \exists!x \in E, y = f(x)$, et on peut dire qu'il existe une [[application]] $f^{-1}$ telle que :
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$$\begin{aligned}
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f^{-1}: &F \rightarrow E\\
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&y \mapsto x \text{ tel que } y=f(x)
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\end{aligned}$$
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$$\begin{aligned}
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f^{-1}: &F \rightarrow E\\
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&y \mapsto x\text{ tel que }y=f(x),\text{ avec } y\in F \text{ et } x\in E\\
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\end{aligned}$$
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# propriétés
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$f^{-1}$ à le même sens de variation que $f$.
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# [[composition de fonctions]]
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Lorsque l'on [[composition de fonctions|compose]] $f$ et $f^{-1}$, on obtient une fonction identité :
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$f \circ f^{-1} = id_E$ $(E \rightarrow F \rightarrow E)$
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$f^{-1}\circ f = id_F$ $(F \rightarrow E \rightarrow F)$
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⚠️ généralement, $f\circ f^{-1} \neq f^{-1}\circ f$, car leur [[ensemble de définition|ensembles de définition]] sont différents.
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# calcul de la fonction réciproque
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## Exemple
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$$\begin{aligned}
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f: &\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\\
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&x \mapsto x^2
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\end{aligned}$$
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Avec ces ensembles de départ et d'arrivée, $f$ est bien une bijection
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## Exemples
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Voir: [[fonction sinus]]
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Voir: [[fonction cosinus]]
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