40 lines
1.0 KiB
Markdown
40 lines
1.0 KiB
Markdown
up::[[analyse]], [[fonction]]
|
|
#maths/analyse
|
|
|
|
----
|
|
La fonction _indicatrice_ (ou caractéristique) est une [[fonction]] définie sur un ensemble $E$ qui explicite l'appartenance ou non à un sous ensemble $F$ de $E$ de tout élément de $E$.
|
|
Formellement, la fonction _indicatrice_ d'un sous-ensemble $F$ d'un ensemble $E$ est une fonction :
|
|
$$
|
|
\begin{align}
|
|
I_F :& E \rightarrow \{0, 1\}\\
|
|
& x \mapsto \left\{\begin{gathered}
|
|
1 \text{ si } x\in F\\
|
|
0 \text{ si } x\notin F
|
|
\end{gathered}\right.
|
|
\end{align}
|
|
$$
|
|
```desmos-graph
|
|
y = x
|
|
```
|
|
|
|
# Notation
|
|
La fonction _indicatrice_ de $F$ peut être notée :
|
|
- $\chi_F$
|
|
- $1_F$
|
|
- $\mathbb1_F$
|
|
- $I_F$
|
|
|
|
|
|
# Propriétées
|
|
Soient $A$ et $B$ sont deux sous-ensembles de $E$
|
|
|
|
- $(A \subseteq B) \iff (\chi_A \leq \chi_B)$
|
|
- $\chi_{\overline A} = 1-\chi_A$
|
|
- $\chi_{A\cup B} = \min\{\chi_A, \chi_B\} = \chi_A\times\chi_B$
|
|
- $\chi_{A\cup B} = \max\{\chi_A, \chi_B\} = \chi_A+\chi_B-\chi_A\times\chi_B$
|
|
- $\chi_{A\Delta B} = \chi_A+\chi_B-2\chi_A\times\chi_B$
|
|
|
|
|
|
|
|
|