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up:: variable aléatoire continue title:: "dérivation de la probabilités variable aléatoire fonction de répartition" #maths/probabilités

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[!definition] Fonction de densité de probabilités Soit X une variable aléatoire continue Soit F la probabilités variable aléatoire fonction de répartition de X

La densité de probabilités de X en x est : f(x) = \displaystyle \lim\limits_{ h \to 0 } \Delta(x, x+h) = \lim\limits_{ h \to 0 } \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \boxed{F'(x)}

• la limite d'une densité linéaire moyenne de probabilités sur un intervalle infinitésimal
• la dérivation de la probabilités variable aléatoire fonction de répartition ^definition

Propriétés

• f(x) = 0 dès que x \notin X(\Omega )
• f(x) \geq 0 pour tout x \in X(\Omega), car F est croissante (non strictement)
• \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim\limits_{ A \to +\infty } F(A) - \lim\limits_{ B \to -\infty } F(B) = 1 - 0 = 1
  • la probabilité totale est 1
• \displaystyle \int_{-\infty }^{x} f(x) \, dx = P(X \leq x) = F(x)
• \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx = P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)