cours/fonction de Leibniz.md

up:: sibling:: combinaison linéaire author:: Leibniz title:: #maths/algèbre

---

[!definition] Fonction de Leibniz Soit \mathbf{K} un corps Soit \mathcal{E} un $\mathbf{K}$-espace affine de direction \vec{E} Soient (A_1, A_{2}, \dots, A_{k}) \in \mathcal{E}^{k} des points de \mathcal{E} Soient (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda _{k}) \in \mathbf{K}^{k} des scalaires La fonction de Leibniz est la fonction :

\begin{align}
\varphi :\; & \mathcal{E} \to E \\
    & M \mapsto \sum\limits_{i=1}^{k} \lambda _{i}\overrightarrow{A_{i}M}
\end{align}

Par la relation de chasles, on obtient : \varphi(M) = \lambda\overrightarrow{OM} + \varphi(O), où \lambda = \sum\limits_{i=1}^{k}\lambda _{i}

C'est un analogue des combinaison linéaire, mais sur des points plutôt que des vecteurs. ^definition

Propriétés

On reprends la fonction \varphi de la définition, ainsi que ses coefficients : (A_{i}) et (\lambda _{i}) On a \lambda = \sum\limits_{i=1}^{k}\lambda _{i}

• \varphi est constante si \lambda=0
  • facile à montrer car on sait que \varphi(M) = \lambda\overrightarrow{OM}+\varphi(O)
• sinon, si \lambda \neq 0 il existe un unique points G tel que \varphi(G) = \vec{0}
  • \lambda \neq 0 \implies \exists!G \in \mathcal{E}, \varphi(G) =\vec{0}
  • G est alors le barycentre d'un système de points pondérés du système de points pondérés (A_{i}, \lambda _{i})_{i}