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up::fonction tangente description::"$\mathbb{R} \to \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$", "$x \mapsto \arctan(x)$" derivative::"$\dfrac{1}{x^{2} + 1}$" integral::"$\displaystyle x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln \left( 1+x^{2} \right)$" #maths/analyse #maths/trigonométrie
La fonction \arctan est la fonction réciproque de la fonction tangente.
$$\begin{align*} \arctan :;& \mathbb{R} \to \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]\ & y \mapsto x \text{ tel que } y=\tan(x) \end{align*}$$
Définition
La fonction \tan n'est pas bijection sur \mathbb{R}, mais réduite à l'intervalle \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right], \tan/_{[-\frac\pi2;\frac\pi2]} est fonction continue et fonction monotone, donc elle est bijection.
Elle possède donc une fonction réciproque, la fonction \arctan :
$$\begin{aligned} \tan : &\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right] \rightarrow \mathbb{R}\ &x \mapsto \tan(x) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
\arctan : &\mathbb{R} \rightarrow \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\
&y\mapsto x \text{ tel que } y = \tan(x) \text{ et } y\in\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]
\end{aligned}$$
Dérivée
La dérivation de \arctan est :
$$\begin{aligned}
\arctan'(x) &= \dfrac1{\tan'(\arctan x)}\
&= \dfrac1{1+\tan^2(arctan x)}\
&= \dfrac1{1+x^2}
\end{aligned}$$
Plus généralement, on a : (\arctan(u))' = \dfrac{u'}{1+u^2}
(en utilisant (f\circ g)' = f'\times g'\circ f)
Equations avec des arctangentes
On commence par poser :
\arctan x = y \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \tan y\\\text{et}\\y \in \left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right]\end{array} \right.