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arcsin arcsinus

up::fonction sinus sibling:: fonction arccosinus title:: \arcsin derivative:: \frac{1}{\sqrt{ 1 - x^{2} }} #maths/analyse #maths/trigonométrie

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La fonction arcsin est la fonction réciproque de la fonction fonction sinus.

\begin{align*}
\arcsin :\; & [-1; 1] \to \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\\
&y \mapsto x \text{ tel que } y=\sin(x)
\end{align*}

Définition

\sin est définie sur \mathbb{R}, et n'est pas bijection sur cet ensemble. Mais si on la limite à certains intervalles, elle peut être bijective. En particulier, sur \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right], elle est fonction continue et fonction monotone, elle est donc bijection, et donc possède une réciproque, la fonction \arcsin

[!définition] $$\begin{aligned} \sin: &\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right] \rightarrow \left[-1; 1\right]\ &x \mapsto \sin(x)\ &\ \arcsin: &[-1; 1] \rightarrow \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\ &x \mapsto y\text{ tel que }\sin(y) = x \text{ et } y\in\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\ \end{aligned}$$

• [p] \forall x\in\left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right], \sin(\arcsin(x)) = x
• [!] \forall x\in\mathbb{R}, \arcsin(\sin(x))\neq x (en général)
  • [p] \forall x\in\left[\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right], \arcsin(\sin(x)) = x (seul cas où c'est égal)

Notes

\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}

Dérivée

La dérivation de \arccos peut être calculée grâce à la formule de dérivation d'une fonction réciproque : (f^{-1})'(x) = \dfrac1{f'(f(x))} $$\begin{aligned} \arcsin'(x) &= \dfrac1{\sin'(\arcsin x)}\ &= \dfrac1{\cos(\arcsin x)}\ &= \dfrac1{\sqrt{\cos^2(\arcsin x)}}\ &= \dfrac1{\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)}}\ &= \dfrac1{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}$$ (Voir dérivation, notamment la dérivée d'une fonction réciproque)

Equations avec des arcsinus

\arcsin x = y \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \sin y\\\text{et}\\y \in \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right] \end{array} \right.