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up::fonction cosinus sibling::fonction arcsinus properties:: description::"$[-1;1] \to \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$", "$x \mapsto \arccos(x)$" derivative::"$- \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$" primitive::"$x \arccos (x) - \sqrt{ 1 - x^{2} } + \text{cste.}$" title::$\arccos$ #maths/analyse #maths/trigonométrie
La fonction \arccos est la fonction réciproque de la fonction cosinus.
La fonction \cos n'est pas bijection sur \mathbb{R}, mais réduite à l'intervalle [0; \pi], \cos/_{[0;\pi]} est fonction continue et fonction monotone, donc elle est bijective.
Elle possède donc une fonction réciproque, la fonction \arccos :
$$\begin{aligned} \cos: &[0; \pi] \rightarrow [-1; 1]\ &x \mapsto \cos(x)\ &\ \arccos: &[-1; 1] \rightarrow \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\ &x \mapsto y\text{ tel que }\cos(y) = x \text{ et } y\in[0, \pi]\ \end{aligned}$$
width=400pt; height=400pt;
top=3.5;
left= -2;right=2;
bottom=-0.5;
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y=\arccos(x)
Propriétés
\cos(\arcsin(x)) = -\sqrt{1 - x^2}\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}
Dérivation
\arccos est fonction dérivable sur \mathbb R (son ensemble de définition).
La dérivation de \arccos peut être calculée grâce à la formule de dérivation d'une fonction réciproque :
(f^{-1})' = \dfrac1{f'\circ f^{-1}}
- On à alors : $$\begin{aligned} \arccos'(x) &= \dfrac1{\cos'(\arccos x)}\ &= -\dfrac1{\sin(\arccos x)}\ &= -\dfrac1{\sqrt{\sin^2(\arccos x)}}\ &= -\dfrac1{\sqrt{1 - \cos^2(\arccos x)}}\ &= -\dfrac1{\sqrt{1 - x^2}} \end{aligned}$$
Equations avec des arccosinus
Pour résoudre une équation avec des \arccos, on commence par poser :
\arccos x = y \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \cos y\\\text{et}\\y \in [0; \pi] \end{array} \right.