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Formalisme mathématique
Soient a et n dans \mathbb{N}\setminus \{ 0,1 \}
On cherche à calculer a^{n}
Avec un algorithme naïf récursif, il faut faire n multiplications pour faire ce calcul.
On montre que l'on peut faire le même calcul avec au plus 2p multiplications, où p = \left\lfloor \dfrac{\ln n}{\ln 2} \right\rfloor
[!note] Démonstration de la méthode Soit
(u_{k}) \in \{ 0, 1 \}^{\mathbb{N}}une suite de chiffres binaires Soit\displaystyle n = \sum\limits_{k=0}^{n}n_{k}2^{k}le nombre dont les chiffres sont ceux de(u_{k})On a :\displaystyle a^{n} = \prod\limits_{k \in J}a^{2^{k}}oùJ = \{ k \in [\![0; p]\!] \mid u_{k} = 1 \}avec\displaystyle p = 2 \left\lfloor \frac{\ln n}{\ln 2} \right\rfloorEn utilisanta^{2^{k+1}} = \left( a^{2^{k}} \right)^{2}, il y àpélévations au carré pour calculera^{2^{k}}(pourk \in [\![1; p]\!]). Alors, au pluspmultiplications donnenta^{n}Il reste à noter que
2^{p} \leq n < 2^{p+1}et doncp \ln 2 \leq \ln n < (p+1) \ln 2