cours/exercices géometrie 2022-09-19.md

#exercice up::L2_maths_geometrie_TD1 - fait.pdf

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Exercice 2

1)

Montrer que l'ensemble des applications linéaires de \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} muni de la composition est un groupe G non commutatif dès que n \geq 2

[!error] Problème dans le sujet (\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n}), \circ) n'est pas un groupe car toutes les applications de \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n}) ne sont pas bijection, et donc elles n'ont pas toutes un inverse.

[!idea] compléments possibles

• l'ensemble des application linéaire bijection de \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} est un groupe
• l'ensemble des application linéaire surjection de \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} est un groupe

Pour n \geq 2 On note \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n}) l'ensemble des applications linéaires de \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}

• \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n}) \neq \emptyset car (x \mapsto x) \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n})
• \circ est une loi interne sur \mathbb{R}^{n}
  • Soient (f, g) \in \left( \left( \mathbb{R}^{n} \right)^{\mathbb{R}^{n}} \right)^{2} deux application linéaire
  • f(\lambda u+v) = \lambda f(u)+f(v), de même pour g
  • (g \circ f)(\lambda u+v)=g(\lambda f(u)+f(v))=\lambda(g \circ f)(u)+ (g \circ f)(v)
  • Donc (g \circ f) est aussi une application linéaire, et \circ est stable
• \circ est associative sur \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{n}) car la multiplication de matrices est associative sur \mathcal{M}_{n}[\mathbb{R}], et que la multiplication de matrices est équivalente à la composition d'applications linéaires associées
  • Soient f, g et h des application linéaire de \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}
  • \begin{align}((f \circ g) \circ h)(\lambda u+v) &= (f \circ g)(\lambda h(u)+h(v))\\ &=f(\lambda(g \circ h)(u)+(g \circ h)(v))\\ &= \lambda(f \circ (g \circ h))(u) +(f \circ (g \circ h))(v)\\ &= (f \circ (g \circ h))(\lambda u+v) && \text{car on sait que } \circ \text{ est une LCI}\end{align}
  • donc ((f \circ g)\circ h) = (f \circ (g \circ h))
  • donc \circ est associative
• On sait que toutes les applications de G sont bijection
  • alors elles ont toutes une fonction réciproque
  • donc tous les éléments de G sont symétrisables

Puisque \circ est interne, associative et que tous les éléments de G sont symétrisables par \circ, alors (G, \circ) est un groupe

2)

Montrer que le centre d'un groupe le G est l'ensemble des homotétie (non nulles)

On note \mathrm{Z}(G) le centre d'un groupe de G

• toutes les homotétie sont des application linéaire et bijection (sauf l'application nulle)
  • elles sont donc toutes contenues dans G

• pour qu'une application linéaire f soit une homotétie, il faut que \exists \lambda \in \mathbf{K}, \forall u \in E, f(u) = \lambda u

\mathrm{Z}(G) = \{ f \in G \mid \forall g \in G, f \circ g = g \circ f \}