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date::2022-08-24 #exercice #maths/algèbre
sous espace vectoriel de \mathbb{R} munis de \times
On munit \mathbb{R}^{n} des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants F de \mathbb{R}^{n}, lesquels sont des sous espace vectoriel ?
1) F = \{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = 0\}
F \neq \emptyset car F contient le vecteur nul.
Soient u = (x_{1},\ldots,x_{n}) \in F et u' = (x'_{1},\ldots,x'_{n}) \in F
x_{1} = 0 et x'_{1} = 0
Donc : u \times u' = (x_{1}\times x'_{1},\ldots,x_{n}\times x'_{n})
Or, on sait que x_{1} \times x'_{1} = 0
Donc u \times u' \in F
\square
2) F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = 1\}
F \neq \emptyset car F contient le vecteur unité.
Soient u \in F et u' \in F avec u=(x_{1},\ldots,x_{n}) et u'=(x_{1},\ldots, x_{n})
u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})
Or, x_{1} = x'_{1} = 1 donc x_{1} \times x'_{1} = 1
Donc u \times u' \in F
F est un sous espace vectoriel de (\mathbb{R}^{n}, \times)
\square
3) F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} = x_{2}\}
F \neq \emptyset car F contient le vecteur nul.
Soient u \in F et u' \in F avec u=(x_{1},\ldots,x_{n}) et u'=(x_{1},\ldots, x_{n})
u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})
Puisque x_{1}=x_{2} et x'_{1} = x'_{2}, alors x_{1} \times x'_{1} = x_{2} \times x'_{2}
Donc u \times u' \in F
F est un sous espace vectoriel de (\mathbb{R}^{n}, \times)
\square
4) F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1}+\cdots + x_{n} = 0\}
F \neq \emptyset car F contient le vecteur nul.
Soient u \in F et u' \in F avec u=(x_{1},\ldots,x_{n}) et u'=(x_{1},\ldots, x_{n})
u \times u' = (x_{1} \times x'_{1}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})
Or, x_{1}+\cdots+x_{n} = 0 et x'_{1}+\cdots +x'_{n} = 0 n'implique pas que x_{1}\times x'_{1}+\cdots+x_{n}\times x'_{n} = 0
Contre-exemple :
-1 + (-2) + 3 = 05 + (-2) + (-3) = 0- pourtant
(-5) + 4 + (-9) \neq 0
Donc, F n'est pas toujours un sous espace vectoriel de (\mathbb{R}^{n}, \times)
5) F = \{(x_{1},\ldots,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mid x_{1} \times x_{2} = 0\}
F \neq \emptyset car F contient le vecteur nul.
Soient u \in F et u' \in F tels que u = (x_{1},\ldots,x_{n}) et u' = (x'_{1},\ldots, x'_{n})
u \times u' = (x_{1}\times x'_{1}, x_{2}\times x'_{2}, \ldots, x_{n} \times x'_{n})
On sait que x_{1} \times x_{2} = 0 et x'_{1}\times x'_{2} = 0
On suppose que $x_{1} \times x'_{1} \neq 0$
- c'est possible si
x_{1} \neq 0etx'_{1} \neq 0 - alors
x_{2} = 0etx'_{2} = 0 - Donc
(x_{1}\times x'_{1}) \times (x_{2}\times x'_{2}) = 0etu \times u' \in F**On suppose quex_{2}\times x'_{2} \neq 0 - même raisonnement que dans le cas précédent
On suppose que
x_{1}\times x'_{1} = 0et $x_{2}\times x'_{2} = 0$ - alors on à bien
u \times u'\in FOn suppose quex_{1}\times x'_{1} \neq 0et $x_{2} \times x'_{2} \neq 0$ - impossible car dans ce cas, on ne peu pas avoir
x_{1} \times x_{2} = 0On à bien tous les cas, donc pour tout(u, u') \in F^{2}, on à bienu \times u' \in F(F, \times)est donc bien un sous espace vectoriel de(\mathbb{R}^{n}, \times)
Exercice 975
Soit F le sous espace vectoriel de \mathbb{R}^{4} engendré par u = (1,2,-5,3) et v = (2,-1,4,7). Déterminer \lambda et \mu réels tels que (\lambda, \mu, -37, -3) \in F
Pour appartenir à F, un vecteur doit être une combinaison linéaire de u et v, c'est-à-dire s'écrire comme :
\alpha u + \beta v
Donc, on doit avoir -5 \alpha + 4 \beta = -37 et 3 \alpha + 7 \beta = -3
On utilise la méthode de résulution par déterminant (voir système linéaire à deux inconnues)
$$\begin{align*}
\left{ \begin{gathered}
-5 \alpha + 4 \beta = -37\
3 \alpha + 7 \beta = -3
\end{gathered} \right. &\iff
\left{ \begin{gathered}
\alpha = \frac{1}{\small\begin{vmatrix}-5&4\3&7\end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -37&4\-3&7 \end{vmatrix}\
\beta = \frac{1}{\small\begin{vmatrix}-5&4\3&7\end{vmatrix}} \begin{vmatrix} -5&-37\3&-3 \end{vmatrix}
\end{gathered} \right.\
&\iff \left{ \begin{gathered}
\alpha = \frac{247}{47}\
\beta = - \frac{126}{47}
\end{gathered} \right.
\end{align*}$$
Alors, on sait que \lambda = \alpha + 2\beta = - \frac{5}{47} et que \mu = 2\alpha - \beta = \frac{368}{47}
Donc :
\left\{ \begin{gathered} \lambda = - \frac{5}{47} \\ \text{et} \\ \mu = \frac{368}{47} \end{gathered} \right.
Exercice 976
Montrer que a = (1, 2, 3) et b = (2,-1,1) engendrent le même sous espace vectoriel de \mathbb{R}^{3} que c=(1,0,1) et d=(0,1,1)
(c; d) est une famille de vecteurs libre car c et d ne sont pas vecteurs colinéaires, leur sous espace vectoriel engendré est donc de dimension d'un espace vectoriel 2.
De même pour (a;b).
Or, a = c + 2d et b = 2c - d
Donc, puisque (a;b) est famille de vecteurs libre et engendre un sous espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel 2, on peut dire qu'elle génère le même sous espace vectoriel que (c;d) car (a;b) est contenue dans le sous espace vectoriel généré par (c;d)
(a;b)est famille de vecteurs libreaetbne sont pas vecteurs colinéaires- donc
(a;b)engendre un sous espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel 2 (a;b) \subset \text{Vect}(a;b)