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#exercice title::"TD1 d'analyse"
sujet : L2_maths_analyse_TD1-annotate
Exercice 1
Pour chacune des suites dont le terme général est donné ci-dessous, déterminer son éventuelle limite.
Lorsque cette limite vaut 0^{+} ou +\infty, donner une équivalent simple.
\disp u_{n} = \frac{n+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}-n}
$$\begin{align*}
u_{n} &= \frac{n + \sqrt{n}}{\sqrt{n}^{3}-n}\
&= \frac{n^{2} + n \sqrt{n}}{\sqrt{n} - 1}\
&= \frac{n^{2}\sqrt{n} + n^{2}}{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}\
\end{align*}$$
\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1-1}{\sqrt{n}} \right) = 1
\lim\limits_{n \to \infty}\left( n^{2} \sqrt{n} + n^{2} \right) = +\infty
Donc, \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = +\infty
\disp u_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n}+5^{n}}
$$\begin{align*}
u_{n} &= \frac{2^{n}}{3^{n}+5^{n}}\
&= \frac{2^{n}}{5^{n}\left( 1+ \left( \frac{3}{5} \right)^{n} \right)}\
&= \left( \frac{2}{5} \right)^{n} \times \frac{1}{1+ \left(\frac{3}{5}\right)^{n}}
\end{align*}$$
\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0 \times \frac{1}{1+0} car \frac{2}{5} < 1 et \frac{3}{5} < 1
Equivalent simple :
puisque \lim\limits_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{1+\left( \frac{3}{5} \right)^{n}} \right) = 1 et que \lim\limits_{n \to +\infty} \left( \frac{2}{5} \right)^{n}, alors on a :
u_{n} \sim_{+\infty} \left( \frac{2}{5} \right)^{n}
\disp u_{n} = \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right)
\lim\limits_{n \to \infty} u_{n} = \ln(1+0) = 0
u_{n} = \sin \left( \frac{1}{n} \right)
$$\begin{align*}
u_{n} &= \sin \left( \frac{1}{n} \right)\
&= X + \frac{X^{2}}{2} + o(X^{2}) \text{ où } X=\frac{1}{n}\
&= \frac{1}{n} + \frac{\frac{1}{n^{2}}}{2} + o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\
&= \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^{2}} + o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\
\end{align*}$$
Or, \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n}\right) = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2n^{2}}\right) = 0
Donc :
\lim\limits_{n \to \infty}u_{n} = 0
\disp u_{n} = e^{\frac{2n}{n+\sqrt{3n}}}
On étudie d'abord :
s_{n} = \frac{2n}{n+\sqrt{3n}}
$$\begin{align*}
s_{n}&= \frac{2n}{n\left(1+ \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n}}\right)}\
&= \frac{2}{1+ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{n}}}
\end{align*}$$
Donc :
\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = 2
et :
\lim\limits_{n \to \infty}u_{n} = \lim\limits_{n \to }e^{v_{n}} = e^{2}
$$\begin{align*} u_{n} &= \tan \left(\frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\ &= \tan\left(\frac{\pi}{2} \times 1^{-}\right)\ &= \tan \left( \frac{\pi}{2}^{-} \right)\ &= +\infty \end{align*}$$ Equivalent simple :
$$\begin{align*} u_{n} &= \tan \left( \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right)\ &= \tan \left( \frac{\pi}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n^{2}} + o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \right) \right)\ &= \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2n^{2}} + o \left( \frac{1}{n^{2}} \right) \right)\ &= \end{align*}$$