cours/espace dual d'un espace vectoriel.md

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ensemble des formes linéaire espace dual espace vectoriel dual

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[!definition] ensemble des formes linéaire d'un espace vectoriel Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel On note E^{*} l'ensemble des formes linéaires sur E

E^{*} est appelé espace dual de $E$

On peut également utiliser la notation \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) (l'ensemble des applications linéaires de E \to \mathbf{K}) ^definition

Propriétés

• \dim E^{*} = \dim E
  • Evident car une forme linéaire sur E est une matrice de taille 1\times \dim E, et donc E^{*} peut être assimilé à E par les matrices des formes linéaires
  • preuve : \dim E* = \dim \left( \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) \right) = \underbrace{\dim E \times \dim K}_{\text{taille des matrices de } E^{*}} = \dim E \times 1 = \dim E