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up:: espace affine sibling:: espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs title:: "$Aff({ A_0, A_1, \dots,A_{k} })$" description:: "plus petit espace affine contenant tous ces points" #maths/algèbre
L'espace affine engendré par une famille de points est le plus petit espace affine qui contienne tous ces points.
[!definition] Espace affine engendré par une famille de points Soit
\mathcal{E}un espace affine Soit\mathcal{A} = \{ A_0, A_1,\dots, A_{k} \}une famille de points de\mathcal{E}
- l'intersection des sous espace affine de
\mathcal{E}contenant tous les points de\mathcal{A}est un sous espace affine de\mathcal{E}- cette intersection est le plus petit sous espace affine qui contient
\mathcal{A}- On note
Aff(\mathcal{A}), et on nomme sous-espace affine engendré par $A$ ce plus petit sous-espace ^definition
Propriétés
Soit \mathcal{E} un espace affine
Soit \mathcal{A} = \{ A_0, A_1,\dots,A_{k} \} une famille de points de \mathcal{E} (\mathcal{A} \subset \mathcal{E})
\begin{align} Aff(\mathcal{A}) &= A_0+Vect(\{ \overrightarrow{A_0M} \mid M \in \mathcal{A} \}) \\ &= A_0 + Vect(\{ \overrightarrow{A_0A_1}, \overrightarrow{A_0A_2}, \dots, \overrightarrow{A_0A_{k}} \}) \end{align}- L'espace affine engendré est direction d'un espace affine à l'espace vectoriel engendré par les vecteurs
\overrightarrow{A_0A_1}, \overrightarrow{A_0A_2},\dots,\overrightarrow{A_0A_{k}}
- L'espace affine engendré est direction d'un espace affine à l'espace vectoriel engendré par les vecteurs