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up::entiers relatifs title::"\mathbb{Z}[\sqrt{ d }] = \{ m+\sqrt{ d }n\mid (m, n)\in \mathbb{Z}^{2} \} où d n'est pas un carré" #maths/algèbre

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Les entiers quadratiques sont une extension des entiers relatifs.

[!definition] Entiers quadratiques Soit d un nombre qui n'est pas un carré (soit \nexists k\in \mathbb{Z}, k^{2} = d) On note \mathbb{Z}[\sqrt{ d }] l'ensemble des entiers quadratiques : \mathbb{Z}[\sqrt{ d }] = \{ m+\sqrt{ d }n \mid (m, n)\in \mathbb{Z}^{2}\}

Propriétés

• \mathbb{Z}[\sqrt{ d }]\subset \mathbb{R}
• (\mathbb{Z}[\sqrt{ d }], +, \cdot) est un anneau