cours/endomorphisme adjoint.md

up:: endomorphisme linéaire sibling:: matrice adjointe title:: "f^{*} tel que $\langle f^{*}(u), v \rangle = \langle u, f(v) \rangle$" #maths/algèbre

---

[!definition] Adjoint d'un endomorphisme Soit (E, \langle \cdot,\cdot \rangle) un espace préhilbertien Soit f : E \to E un endomorphisme linéaire de E (f \in \mathcal{L}(E), voir ensemble des endomorphismes linéaires). On note f^{*} l'adjoint de f, la fonction telle que : \forall (x, y) \in E^{2}, \quad \boxed{\langle x, f(y) \rangle = \langle f^{*}(x), y \rangle} ^definition

Propriétés

• (f^{*})^{*} = f
• (f \circ g)^{*} = g^{*} \circ f^{*}
• \|f^{*}\| = \|f\| (dans l'espace vectoriel \mathcal{L}(E) des ensemble des endomorphismes linéaires)