Définition

Soient n\in\mathbb N, I un intervalle de \mathbb R contenant 0, (0\in\dot I, c.a.d que 0 ne doit pas être une borne de I : intérieur d'un intervalle), et f une fonction de I dans \mathbb R.

On dit que f possède un développement limité à l'ordre n au voisinage de $0$ (noté \mathrm{DL}_n(0) de f) s'il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à n, à coefficients réels, et une fonction \varepsilon de I dans \mathbb R tels que :

\begin{align}f(x) &= P(x)+x^n\epsilon(x)\\ &=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n+\underbrace{x^n\epsilon(x)}_{\text{reste}}\end{align} avec \boxed{\lim_{x\rightarrow 0} \varepsilon(x) = 0}

Exemple

\begin{align}f: & \mathbb R \setminus \{1\}\mapsto \mathbb R\\ &x \mapsto \dfrac1{1-x}\end{align}

\displaystyle\sum_{k=0}^n x^k = \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}

Donc \dfrac1{1-x} = 1+x+x^2+\ldots+x^n+x^n\underbrace{\dfrac{x}{1-x}}_{\varepsilon(x)}

Vérification : Soit S = 1+x+x^2+\ldots+x^n \hspace{2em}(1) x\cdot S = x+x^2+\ldots+x^n+x^{n+1} \hspace{2em}(2)

$$\begin{aligned} (1)-(2) &= \ldots\[1ex] S-x\cdot S &= 1-x^{n+1}\[1ex] S (1-x) &= 1-x^{n+1}\[2ex] S &= \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{aligned}$$

Proposition

Soient I un intervalle de \mathbb{R} contenant 0, et soit F une fonction de I dans \mathbb{R}. Si F est de classe d'une fonction C^1(I), et si F' admet un \mathrm{DL}_n(0), de partie régulière P(x) (polynôme), alors F possède un \mathrm{DL}_{n+1}(0), de partie régulière la primitive de P qui prend en 0 la valeur F(0) \displaystyle F(x) = \underbrace{F(0) + \int_0^x P(t) d t}_{\text{partie régulière}} + x^{n+1}\varepsilon(x) avec \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\varepsilon(x) = 0 On peut utiliser cette propriété pour calculer le \mathrm{DL} de F.

Propriétés

Troncature

Soit f une fonction admettant un \mathrm{DL}_n(0), avec \displaystyle\mathrm{DL}_n(0):f(x) = \sum_{i=0}^n \left(a_ix^i\right) + x^n\varepsilon(x) avec \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\varepsilon(x) = 0 f possède un \mathrm{DL}_k(0) pour tout k\in[\![0; n]\!], et on a : \displaystyle\mathrm{DL}_k(0):f(x) = \underbrace{\sum_{i=0}^k\left(a_ix^i\right)}_{\text{partie régulière}} + x^n\varepsilon_2(x) avec \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\varepsilon_2(x) = 0

Opérations sur les DL

Soient f et g deux fonction admettant un DL_n(x_0) : - \mathrm{DL}_n(x_0): f + \mathrm{DL}_p(x_0): g = \mathrm{DL}_{\min (n; p)}(x_0): (f+g)

\mathrm{DL}_n(x_0): (f\times g) = (\mathrm{DL}_n(x_0): f) \times (\mathrm{DL}_n(x_0): g)
- \mathrm{DL}_n(x_0): f \times \mathrm{DL}_p(x_0): g = \mathrm{DL}_{\min (n; p)}(x_0): (f\times g)
Si g(x_0)\neq0, \mathrm{DL}_n(x_0): \left(\dfrac fg\right) = \dfrac{\mathrm{DL}_n(x_0): f}{\mathrm{DL}_n(x_0): g} = \mathrm{DL}_n(x_0) f \times \mathrm{DL}_n(x_0): \dfrac1g
- Avec des ordre différents, on prends toujours le minimum.

Composition

Soient f et g deux fonctions telles que f(0)=0 et que f et g possèdent un \mathrm{DL}_n(0) Alors f\circ g possède un \mathrm{DL}_n(0) ⚠️ Si f(0)\neq 0, on doit déterminer un \mathrm{DL}_n(f(0)): g

Fonctions paires et impaires

Soit f une fonction paire, \mathrm{DL}_n(x_0): f ne possède que des termes avec une puissance paire sur x (x^{2n}). Le reste sera de la forme x^{2n+1}\varepsilon(x).

Soit f une fonction impaire, \mathrm{DL}_n(x_0): f ne possède que des termes avec une puissance impaire sur x (x^{2n+1}). Le reste sera de la forme x^{2n+2}\varepsilon(x).

Interprétation

On peut voir le polynôme de Taylor comme le résultat que l'on obtient en extrayant des informations sur une fonction en un point donné :

Le terme de degré 0 (constante) sert à faire en sorte que \mathrm{DL}(x_0): f(x_0) = f(x_0), c'est-à-dire qu'il permet que le développement limité aie la même valeur que f en $x_0$
Le terme de degré 1 sert à faire en sorte que le développement limité aie la même tangente que f en $x_0$
Le terme de degré 2 sert à faire en sorte que \displaystyle\left(\mathrm{DL}_2(x_0):f\right)^{(2)}(x_0) = f^{(2)}(x_0) (faire correspondre les dérivées secondes en $x_0$)
Le terme de degré 3 sert à faire en sorte que \displaystyle\left(\mathrm{DL}_3(x_0):f\right)^{(3)}(x_0) = f^{(3)}(x_0) (faire correspondre les dérivées troisièmes en $x_0$)
\vdots
Le terme de degré n sert à faire en sorte que \displaystyle\left(\mathrm{DL}_n(x_0):f\right)^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) (faire correspondre les dérivées troisièmes en $x_0$)

C'est pour cette raison que faire tendre n vers l'infini améliore l'approximation autour de x_0, mais pas forcément plus loin (car les informations extraites par les dérivées successives ne sont pas toujours suffisantes pour décrire toute la fonction) (Exemple : \mathrm{DL}_n(1):\ln(x) ne fonction convergente que lorsque x\in[0;2])

Cf: https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4 (3B1B)

5.1 KiB Raw Blame History