Définition

Matrices de taille 2

Soit A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \det A = ad - bc

Matrices de taille 3

Méthode de Sarrus

$$\begin{align} \det A &= \left|\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{34} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} \end{align}$$ On peut retrouver les coefficients avec le shéma suivant :

!déterminant d'une matrice - méthode de Sarrus.excalidraw

Méthode générale

La méthode générale permet de calculer les déterminants de n'importe quelle matrice (carrée) Cette méthode se base sur une formule de récurrence :

On connaît le déterminant d'une matrice 2\times 2
Pour des matrices de taille plus grandes, on applique cette règle :
- Soit A une matrice de dimension n\times n
- On note A'_{i,j} la matrice obtenue en enlevant la ligne i et la colonne j de la matrice A
- On note c_{i,j} = (-1)^{i+j}\times\det(A_{i,j})
- On a alors :
  - Développement par colonnes : \disp\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)
  - Développement par lignes : \disp\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)

Définition en APL

det ← {
    2∧.=⍴⍵:-/×⌿(⌽@2)⍵  ⍝ déterminant d'une matrice 2x2
    
    ⍝ calculer le déterminant de ⍵
    coeffs ← ,1↑[2]⍵  ⍝ première colonne de ⍵ (coefficients utilisés plus tard)
    mat ← 1↓[2]⍵  ⍝ tout sauf la première colonne de ⍵ (développement selon la première colonne)
    ⍝ il faut récupérer toutes les sous-matrices carrées de mat obtenues en enlevant une ligne de mat
    nid ← ∘.≠⍨⍳≢⍵  ⍝ négation de la matrice identité de la taille de mat
    ⍝ On masque les lignes de mat avec successivement chaque ligne de nid (on enlève à chaque fois une ligne)
    submats ← ⌿∘mat¨↓nid ⍝ on obtient toutes les matrices sur lesquelles on doit faire la récursion
    -/coeffs×∇¨submats ⍝ on obtient ici le déterminant
}

Propriétés

Le déterminant d'une matrice possédant 2 lignes ou 2 colonnes proportionelles est nul
La multiplication d'une ligne ou d'une colonne par un réel \lambda multiplie le déterminant par \lambda

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