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dérivée

up::analyse #maths/analyse

La dérivée d'une fonction f est la fonction f' telle que :

\displaystyle f'(a) = \lim_{h\rightarrow0}\left( \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \right)

C'est le coefficient directeur de la tangente à une courbe en chaque point.

Notation

Soit f une fonction. On note f' la dérivée de f. On note f'' la dérivée seconde de f, c'est à dire la dérivée de f'.

Dérivées successives

On note :

• f^{(0)}=f
• f^{(1)}=f'
• f^{(2)}=f''
• \vdots
• f^{(n)}=(f^{(n-1)})'

Méthodes de dérivation

On peut utiliser les dérivées des fonctions usuelles :

Dérivées d'expressions

$$\begin{array}{|r|l|} \hline \text{expression} & \text{dérivée}\\hline x^n & nx^{n-1}\\hline sin(x) & cos(x)\\hline cos(x) & -sin(x)\\hline \arcsin' x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\hline \arccos' x & -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\hline \tan x & \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} = 1 + \tan^{2}(x)\\hline \tan x & \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} \\hline \arctan x & \dfrac1{1+x^2}\\hline \mathrm{sh}(x) & \mathrm{ch}(x) \\hline \mathrm{ch}(x) & \mathrm{sh}(x)\\hline \arg\mathrm{sh}'(x) & \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\\hline \arg\mathrm{ch}'(x) & -\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\\hline \mathrm{th}(x) & \dfrac{1}{\mathrm{ch}^{2}(x)} = 1 - \mathrm{th}^2(x)\\hline \end{array}$$

Dérivées de fonctions

$$\begin{array}{|r|l|}\hline \text{expression} & \text{dérivée}\\hline u \times v & u'v + uv'\\hline \dfrac uv & \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\\hline e^u & u'\cdot e^u\\hline \ln u & \dfrac{u'}{u}\\hline \ln |u| & \dfrac{u'}{u}\\hline u^n & nu'\cdot u^{n-1}\\hline g\circ f & f' \times g'\circ f\\hline (f^{-1})' & \dfrac1{f'\circ f^{-1}}\\hline \end{array}$$

Formules générales

Formule de Leibniz

Dériver n fois un produit de fonctions :

(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} \right)

Notion de fonction dérivable

Une fonction est dérivable sur un intervalle si sa dérivée existe sur cet intervalle