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up::courbe paramétrée #maths/analyse
Définition
Soit \begin{align}f : & D\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\\& t \mapsto (x(t); y(t)) \end{align} une courbe paramétrée
Soit t_{0}\in D
La courbe f est dérivable en $t_{0}$ ssi les deux fonctions x et y sont fonction dérivable en t_{0}
Vecteur dérivé
Si une courbe paramétrée f est dérivable en t_0, le vecteur dérivé de la courbe en t_{0} est le vecteur \begin{pmatrix} x'(t_{0})\\ y'(t_{0})\end{pmatrix}
Notation
Le vecteur dérivé de f en t_{0} se note \frac{\overrightarrow{d M}}{d t}(t_0)
Justification de la notation
Dans le vecteur \frac{1}{t-t_{0}}\overrightarrow{M(t_{0})M(t)} (dont on cherche la limite pour avoir la dérivée en t_{0}) peut s'écrire M(t)-M(t_{0}) (une différence de deux point B-A est un vecteur \overrightarrow{AB})
Donc :
\frac{\overrightarrow{d M}}{d t}(t_{0}) = \frac{\overrightarrow{\text{différence invinitésimale de M}}}{\text{différence infinitésimale de t}}\text{en }t_{0}