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up::somme des carrés title::"démonstration de $\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$" #maths #démonstration
On utilise la formule du binôme de Newton pour chacun des cubes :
1^{3} = (0+1)^{3} = 0^{3} + 3\times 0^{2} \times 1 + 3 \times 0 \times 1 + 1
2^{3} = (1+1)^{3} = 1^{3} + 3\times 1^{2}\times 1 + 3 \times 1 \times 1^{2} + 1^{3}
3^{3} = (2+1)^{3} = 2^{3}+3\times 2^{2}\times 1 + 3\times 2 \times 1^{2} + 1^{3}
\vdots
n^{3} = ((n-1)+1)^{3} = (n-1)^{3} + 3(n-1)^{2} + 3 \times (n-1) + 1
(n+1)^{3} = (n+1)^{3} = n^{3}+3n^{2} + 3n + 1
Donc, par somme :
\sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{3} = \sum\limits_{k=0}^{n} k^{3} + 3\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2} + 3\sum\limits_{k=0}^{n}k + \sum\limits_{k=0}^{n}1
Soit :
\sum\limits_{k=1}^{n}k^{3} + (n+1)^{3} = \sum\limits_{k=1}^{n}k^{3} + 3\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2} + 3\sum\limits_{k=0}^{n}k + n + 1
Donc :
\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2} + \frac{3n(n+1)}{2} + n + 1 = (n+1)^{3}
Alors :
$$\begin{align} 3\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2} &= + (n+1)^{3} - \frac{3n(n+1)}{2} - (n+1) \ &= \frac{2(n+1)^{3} - 3n(n+1) - 2(n+1)}{2} \ &= \frac{(n+1)\left( 2(n+1)^{2} - 3n - 2 \right) }{2} \ &= \frac{(n+1)\left( 2n^{2}+n \right) }{2} \ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} \ \end{align}$$
Donc, on a :
\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}