cours/démonstration le produit de groupes reste un groupe.md

up:: produit direct de groupes #maths/algèbre

Soient (G, *_{G}) et (H, *_{H}) deux groupes. On veut montrer que le produit (G \times H, *) est bien un groupe pour la loi * définie comme (g, h)*(g', h') = (g*_{G}g', h*_{H}h')

1. La loi * est bien une loi de composition interne

Quels que soient (g, h), (g', h') \in G\times H (g, h)*(g', h') = (g*_{G}g', h*_{H}h') \in G \times H car g*_{G}g' \in G en tant que *_{G} est une lci, et car h*_{H}h' \in H en tant que *_{H} est une lci.

2. la loi * est associativité

On a

\begin{align}
\left[ (g, h)*(g', h') \right] * (g'', h'') &= (g*_{G}g', h*_{H}h') * (g'', h'') \\
&= (g*_{G}g'*_{G}g'', h*_{H}h'*_{H}h'') \\
&= (g, h) * \left[ (g', h') * (g'', h'') \right] & \text{par associativité de } *_{G} \text{ et } *_{H}
\end{align}

Donc * est bien associative

3. On a bien un élément neutre

Le neutre est bien e_{G\times H} = (e_{G}, e_{H}) (g, h) * e_{G\times H} = (g, h)*(e_{G}, e_{H}) = (g*_{G}e_{G}, h*_{H}e_{H}) = (g, h) = (e_{G}*_{G}g, e_{H}*_{H}h) = (e_{G}, e_{H})*(g, h) = e_{G\times H} * (g, h)

4. Tous les éléments admettent un inverse

\begin{align}
\forall (g, h) \in G \times H, \quad (g, h) * (g^{-1}, h^{-1}) &= (g*_{G}g^{-1}, h*_{H}h^{-1}) \\
&= (e_{G}, e_{H}) = e_{G\times H} & \text{car } G \text{ et } H \text{ sont des groupes}\\
&= (g^{-1}*_{G}g, h^{-1}*_{H}h) \\
&= (g^{-1}, h^{-1}) * (g, h) & \text{car } G \text{ et } H \text{ sont des groupes}
\end{align}