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up:: tribu borélienne #maths/algèbre
Soit \mathcal{O} l'ensemble des ensemble ouvert de \mathbb{R}
Soit \mathcal{O}_{2} l'ensemble des ensemble ouvert bornés à extrémités rationnelles.
Démontrons que \sigma(\mathcal{O}_{2}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}) la tribu borélienne sur \mathbb{R}.
\mathcal{O}_{2} \subset \mathcal{O}donc\sigma(\mathcal{O}_{2}) \subset \sigma (\mathcal{O}) = \mathcal{B(\mathbb{R})}- On veut montrer
\sigma(\mathcal{O}) \subset \sigma(\mathcal{O}_{2})Il suffit pour cela de montrer que\mathcal{O} \subset \sigma(\mathcal{O}_{2}), car si\sigma(\mathcal{O}_{2})contient\mathcal{O}, alors il contient forcément la plus petite tribu contenant\mathcal{O}, c'est-à-dire qu'il contient forcément\sigma(\mathcal{O}).
Soit O \in \mathcal{O}
\displaystyle O = \bigcup _{(r, p) \in I} ]r - p; r+p[
où I = \{ (r, p) \in \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}^{*+} \mid \left]r-p; r+p\right[ \in O\}
Chaque intervalle ouvert ]r -p; r+p[ est inclus dans O
Comme, \mathbb{Q} et \mathbb{Q}^{*+} sont dénombrables, alors leur produit cartésien \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}^{*+} est ensemble infini dénombrable, et donc I est dénombrable.
Quel que soit x \in O
Quels que soient a, b \in \mathbb{R} tels que x \in ]a; b[ \subset O, on peut trouver r_1, r_2 \in \mathbb{Q} tels que a < r_1 < x < r_2 < b (car \mathbb{Q} est dense dans \mathbb{R}).
Alors, si on pose r_0 = \dfrac{r_1+r_2}{2} et \rho_0 = \dfrac{r_1-r_2}{2}, on a :
\displaystyle x \in \left]r_0-\rho_0; r_0 + \rho_0\right[ \subset \bigcup _{(r, \rho ) \in I} ]r-\rho; r+\rho[
O est ouvert, donc \exists a, b \in \mathbb{R}, \quad x \in ]a; b[ \subset O