cours/démonstration l'inverse d'un élément d'un groupe est unique.md

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démonstration de l'unicité de l'inverse d'un élément d'un groupe

up:: groupe #maths/algèbre

Soit (G, *) un groupe Soit g \in G Soient h et h' deux inverses de g On a :

\begin{align}
h &= h*e_{G} \\
&= h* (g*h') & \text{car } h' \text{ est un inverse de } g\\
&= (h*g)*h' & \text{par associativité} \\
&= e_{G}*h' & \text{car } h \text{ est un inverse de } g \\
&= h'
\end{align}

On a donc h = h', et il ne peut donc pas y avoir deux inverses distincts d'un même élément de G.