cours/démonstration l'intersection de tribus sur E est une tribu sur E.md

up:: tribu #maths/algèbre

[!definition] Proposition L'intersection de tribu sur E est une tribu sur E

Démonstration

Soit (\mathcal{A_{i}})_{i \in I} une suite de tribus sur E On pose \displaystyle\mathcal{A} = \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})

1. contient l'ensemble vide \forall i \in I, \quad \emptyset \in \mathcal{A}_{i}. Donc \displaystyle\emptyset \in \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i}). On a donc bien \boxed{\emptyset \in \mathcal{A}}
2. stable par complément Soit A \in \mathcal{A} \forall i \in I, \quad A \in \mathcal{A_{i}} Or, comme tous les \mathcal{A}_{i} sont des tribus : \forall i \in I, \quad A^{C} \in \mathcal{A}_{i} donc A^{C} \in \bigcap _{i \in I}(\mathcal{A}_{i})
3. stable par intersection même principe que le 2.