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up:: groupe linéaire des matrices modulaires #maths/algèbre
Soit p un nombre premier
Soit (GL_{n}(p), \times) l'ensemble des matrices modulaires de taille n sur \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} muni de la multiplication de matrices
alors on veut montrer que (GL_{n}(p), \times) est un groupe fini
\times est une loi de composition interne
Soient M, N \in GL_{n}(p)
On pose A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) tels que M = \overline{A} et N = \overline{B}
(les coefficients de M sont obtenus via les coefficients de A, par réduction modulo p, idem pour N et B)
On a MN = \overline{AB}
On a \det M = \overline{\det A} et \det N = \overline{\det B}
Ainsi : \det(MN) = \det(\overline{AB}) = \overline{\det(AB)} = \overline{\det(A) \det(B)}
Or p \nmid \det A car \overline{\det A} = \det \overline{A} = \det M \not \equiv \overline{0} \mod{p} car M \in GL_{n}(p)
de même, p \nmid \det B
Donc, p \nmid \det (A) \det(B) car p est premier
Donc, \overline{\det(A) \det(B)} \not\equiv \overline{0} \mod{p}
La matrice \overline{I_{n}} = \begin{pmatrix} \overline{1} &&\\ &\ddots& \\ && \overline{ 1}\end{pmatrix} est dans GL_{n}(p) et est son élément neutre
En effet, \det \overline{I_{n}} = \overline{1}^{n} = \overline{1} \neq \overline{0}
donc \overline{I_{n}} \in GL_{n}(p)
\forall M \in GL_{n}(p)
on pose A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) tel que M = \overline{A}
on a :
M \overline{I_{n}} = \overline{A} \cdot\overline{I_{n}} = \overline{AI_{n}} = \overline{A} = M
et M \overline{I_{n}} = \overline{A} = \overline{I_{n} A} = \overline{I_{n}}\cdot \overline{A} = \overline{I_{n}} M
Donc, \overline{I_{n}} est bien l'élément neutre de GL_{n}(p)
Existence de l'inverse
Soit M \in GL_{n}(p)
Soit A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) tel que M = \overline{A}
On a A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), donc d'après la formule de la comatrice :
\exists B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}), \quad AB = (\det A) I _{n}
On a \overline{ 0} \neq \det M = \det \overline{A} = \overline{\det A}
Ainsi, \overline{\det A} \in \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} = \left( \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \right)^{*} car p est premier
Puisque (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})^{*} est un groupe pour la multiplication, on sait qu'il existe \alpha \in (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})^{*} tel que \alpha \overline{\det A} = \overline{1}
On a alors, avec N := \alpha \overline{B} \in \mathcal{ M}_{n}