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up::droite vectorielle
title::"D_{1} = D_{1} ou $D_{1} \cap D_{2} = { 0_{E} }$"
outdescription::"deux droites vectorielles sont confondues ou ont pour intersection $0_{E}$"
#démonstration #maths/algèbre
On veut montrer que deux droite vectorielle sont soit confondues, soit d'intersection le vecteur nul.
Soient \overrightarrow{D_{1}}=Vect(\vec{e_{1}}) et \overrightarrow{D_{2}}=Vect(\vec{e_{2}}) deux droite vectorielle
On appelle \overrightarrow{F}=\overrightarrow{D_{1}}\cap\overrightarrow{D_{2}} l'intersection de ces deux droites
On sait que l'intersection de sous espaces vectoriels est un sous espace vectoriel, donc 0 \in F
Alors :
- Soit
\left( \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\right)est famille de vecteurs liée- Alors
\overrightarrow{D_{1}}=Vect(\vec{e_{1}})=Vect(\vec{e_{2}})=\overrightarrow{D_{2}}et les deux droites sont confondues
- Alors
- Soit
(\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})est famille de vecteurs libre- Alors :
- Si
\vec{u}\in\overrightarrow{D_{1}}\cap\overrightarrow{D_{2}}- il existe deux réels
\lambda_{1}et\lambda_{2}de sorte que\vec{u}=\lambda_{1}\vec{e_{1}} \lambda_{1}\vec{e_{1}}-\lambda_{2}\vec{e_{2}}=\vec{0}mais la famille(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})est famille de vecteurs libre- donc :
\lambda_{1}=0=\lambda_{2} - et donc :
\vec{u}=0 - alors
\overrightarrow{D_{1}} = \overrightarrow{D_{2}}On à donc : Deux droites vectorielles\overrightarrow{D_{1}}et\overrightarrow{D_{2}}sont :
- il existe deux réels
- Si
- Alors :
- confondues si
(\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})est famille de vecteurs liée - d'intersection réduite au vecteur nul si
(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})est famille de vecteurs libre