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up:: sous sous-groupes de Z muni de +
title:: "les sous groupes de \mathbb{Z} sont les m\mathbb{Z} où m est le plus petit strictement positif du groupe"
#maths/algèbre
On cherche à montrer une équivalence :
G = n\mathbb{Z} \iff (G, +) \text{ est un sous groupe de } (\mathbb{Z}, +)
G = n\mathbb{Z} \implies (G, +) \text{ est un sous groupe de } (\mathbb{Z}, +)
Pour tout n \in \mathbb{Z}
0 \in n\mathbb{Z}, donc n\mathbb{Z} contient l'élément neutre de +
Soient (x, y) \in (n\mathbb{Z})^{2},
On sait que n\mid x et n\mid y, donc n\mid x+y, et donc x+y \in n\mathbb{Z}
Alors, n\mathbb{Z} est stable par addition
Soit x \in n\mathbb{Z}
Par définition, n\mathbb{Z} = \{ nk \mid k \in \mathbb{Z} \}
Donc, \exists k \in \mathbb{Z}, nk = x
Alors, \exists k' \in \mathbb{Z}, nk' = -x avec k' = -k
Et donc, -x \in n\mathbb{Z} car il s'exprime de la forme nk'\mid k' \in \mathbb{Z}
Donc, les (n\mathbb{Z}, +) sont bien des sous groupe de (\mathbb{Z}, +)
(G, +) \text{ est un sous groupe de } (\mathbb{Z}, +) \implies G = n\mathbb{Z}
Soit G un sous groupe de (\mathbb{Z}, +)
Si G = \{ 0 \}, alors G = 0\mathbb{Z}
Si G n'est pas nul, alors il contient un élément c \neq 0, et donc contient -c.
Donc, G contient au moins un élément strictement positif.
Soit n le plus petit élément strictement positif de G (n = \max \left( \{ k \in G \mid k > 0 \} \right))
Pour tout x \in G
\forall x \in G, \quad \exists (q, r) \in \mathbb{Z}^{2}, \quad x=qn + r avec r \in [\![0, n-1]\!] (voir: division euclidienne)
n \in G, et donc, par stabilité par + :
qn \in G et aussi r = x - nq (car x \in G)
Donc, r \in G et 0 \leq r < n-1. Comme n est le plus petit élément positif de G, on doit avoir r = 0
Donc, x = nq, donc tout élément de G est multiple de n.
On a donc bien \boxed{G = n\mathbb{Z}}
Conclusion
On a bien montré une implication dans les deux sens. On peut conclure :
\large\boxed{G = n\mathbb{Z} \iff (G, +) \text{ est un sous groupe de } (\mathbb{Z}, +)}