cours/démonstration de l'équivalence de la norme 1 et de la norme infini sur Rn.md

up:: normes équivalentes, norme p #maths/algèbre

Soit x \in \mathbb{R}^{n} quelconque

\displaystyle \|x\|_{\infty } = \max_{i = 1}^{n} |x_{i}| \leq |x_1|+\dots+|x_{n}| donc \|x\|_{\infty } \leq \|x\|_{1}

A l'inverse : \|x\|_{1} = \underbrace{|x_1| + |x_2|+ \cdots + |x_{n}|}_{\substack{\text{tous les termes sont}\\ \leq \max\limits_{i=1}^{n}(|x_{i}|) = \|x\|_{\infty}}} Donc, \frac{1}{n}\|x\|_{1} \leq \|x\|_{\infty}

On a donc bien équivalence entre la norme p et la norme infini sur \mathbb{R}^{n}