cours/démonstration d'une autre définition du groupe des classes modulo n premières avec n.md

up:: groupe des classes modulo n premières avec n #maths/algèbre

On veut montrer que (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times} = \{ \overline{k} \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k} u = \overline{1} \}

Inclusion \subseteq

Soit \overline{k} \in (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times } Par hypothèse, \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 donc, par le théorème de Bézout, \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^{2}, \quad ku+nv = 1

En réduisant modulo n, on trouve \overline{k}\overline{u} + \cancel{\overline{n}\overline{v}}=\overline{1} Donc \overline{k}\overline{u} = 1

Inclusion \supseteq

Soit \overline{k} \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z} tel que \exists \overline{u} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}\overline{u} = \overline{1} Ainsi \overline{k}\overline{u} = \overline{1}, et donc : $$\begin{align} \overline{k}\overline{u} = \overline{1} & \iff \overline{ku} - \overline{1} = \overline{0} \ &\iff \overline{ku - 1} = \overline{0} \ &\iff ku - 1 \equiv 0 [n] \ &\iff \exists v \in \mathbb{Z}, \quad ku - 1 = nv \ &\iff \exists v \in \mathbb{Z}, \quad ku - nv = 1 \ \end{align}

Donc, par le [[théorème de Bézout]], $\mathrm{pgcd}(k, n) = 1$

# Note
Cette autre forme est utile pour montrer que $\left( (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times }, \times \right)$ est bien un groupe