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alias: [ "convergence sur [a;+∞[ d'une intégrale absolument convergente" ]
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up:: [[intégrale absolument convergente]]
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title:: "démonstration que $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} |f(x)| \, dx \text{ CV.} \implies \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \text{ CV.}$"
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#maths/analyse
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# Théorème
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![[intégrale absolument convergente#^convergence-sur-a-infini]]
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# Démonstration
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Soit $f \in C^0_{pm}([a; +\infty[)$, telle que $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ est absolument convergente
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On considère :
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- $f^{+}(t) = \max(0, f(t))$ (partie positive de $f$)
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- $f^{-}(t) = \min(0, -f(t))$ (partie négative de $f$)
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On a :
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- $f = f^{+} - f^{-}$
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- $f^{+} \in C^0_{pm}([a; +\infty[)$
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- $f^{-} \in C^0_{pm}([a; +\infty[)$
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Or, on sait que :
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- $0 \leq f^{+}(x) \leq |f|(x)$
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- $0 \leq f^{-}(x) \leq |f|(x)$
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Donc, puisque l'intégrale de $f$ est [[intégrale absolument convergente|absolument convergente]], l'intégrale de $|f|$ est convergente.
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Alors, par [[convergence d'intégrales de fonctions comparées|intégrales de fonctions comparées]], on sait que les intégrales de $f^{+}$ et $f^{-}$ convergent.
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