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fonction signe sans conditions définitions sans condtions de la fonction signe

up:: fonction signe, Notation mathématique traditionnelle #maths

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!fonction signe#^definition

La fonction signe est donc la fonction qui vaut 1 pour argument positif, -1 pour argument négatif, et 0 pour l'argument 0.

La fonction signe est généralement considérée comme une fonction classique de la Notation mathématique traditionnelle. Parfois, on peut cependant ne pas vouloir de telles fonctions, car leur définition n'est pas conventionnelle : il faut utiliser des conditions pour la définir

Définitions

Avec la valeur absolue

On peut poser : \displaystyle \mathrm{sgn}(x) = \frac{|x|}{x} Cette définition ne fonctionne pas pour x = 0, car on ne peut pas diviser par 0 C'est donc une définition de la fonction signe réduite sur \mathbb{R}^{*}

Avec des fonctions trigonométriques

\mathrm{sgn}(x) = \left\lfloor \mathrm{th}(x) \right\rfloor \times 2 + 1 La fonction \mathrm{th}(x) est définie sur \mathbb{R}, et vaut 0 en 0, est négative sur \mathbb{R}^{-*} et positive sur \mathbb{R}^{+*} Plus précisément :

• x < 0 \implies \mathrm{th}(x) \in ]-1; 0[
• x = 0 \implies \mathrm{th}(x) = 0
• x > 0 \implies \mathrm{th}(x) \in ]0; 1[ On peut donc utiliser la fonction partie entière pour avoir uniquement les valeurs -1 ou 0