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- Exemples de structures communes
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# Exemples de structures communes
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> [!example]- $\mathbb{N}$ [[nombres entiers naturels]]
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> $(\mathbb{N}, +)$
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> - $\forall m, n \in \mathbb{N}, \quad m+n \in \mathbb{N}$
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> - $\forall m, n \in \mathbb{N}, \quad m+n = n+m$
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> - $m+0 = m$ (0 est un élément neutre)
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> - si $m \geq 1$, l'équation $m+a = 0$ n'a pas de solution $a \in \mathbb{N}$
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> [!example]- $\mathbb{Z}$ [[nombres relatifs]]
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> $(\mathbb{Z}, +)$
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> - $\forall m,n \in \mathbb{Z}, \quad m+n \in \mathbb{Z}$
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> - $\forall m \in \mathbb{Z}, m+0 = m$
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> - $\forall m \in \mathbb{Z}, \quad \exists! a \in \mathbb{Z}, \quad m+a = 0$
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> [!example]- $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$
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> $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$
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> - $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z} = \left\{ \overline{0}, \overline{1}, \dots, \overline{n-1} \right\}$
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> - où $\overline{a} + \overline{b} := \begin{cases} \overline{a+b} \quad \text{si } a+b < n\\ \overline{a+b - n} \quad \text{sinon}\end{cases}$ (autrement dit : $\overline{a+b} = \overline{r}$ où $r \in [\![0; n-1]\!]$ est le reste de la [[division euclidienne]] de $a+b$ par $n$)
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> - $\overline{a} + \overline{0} = \overline{a}$
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> - soit $\overline{a}$ fixé. avec $b := n-a$ on a $\overline{a} + \overline{b} = \overline{0}$
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> [!example]- $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}) ^{\times}$
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> $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times } := \left\{ \overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \;\Big| k \in {0, \dots, n-1} \wedge \mathrm{pgcd}(k, n) = 1 \quad (k \text{ est premier avec } n) \right\}$
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> - sous ensemble de $\mathbb{Z} /n\mathbb{Z}$
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> - [!] non stable sous la loi $+$ :
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> - $\overline{1} + \overline{n-1} = \overline{0} \notin (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times}$
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> - stable sous la loi $\times$ :
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> - $\overline{k} \times \overline{l} := \overline{kl}$ (reste de $k\cdot l$ par $n$)
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> - si $p$ est un diviseur premier commun à $k\cdot l$ et $n$, alors $p|k l$ donc $p|k \vee p|l$ ([[lemme d'Euclide]]) donc $(p|k \wedge p|n) \vee (p|l \wedge p|n)$, or c'est absurde, car on sait que $k$ et $l$ sont premiers avec $n$. $p$ n'existe donc pas, et $k \cdot l$ est bien premier avec $n$.
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> - $\overline{k} \times \overline{l} = \overline{l} \times \overline{k}$
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> - $\overline{k} \times \overline{1} = \overline{k}$
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> [!example]- $\mathbb{R}^{*}$ [[ensemble des réels|nombres réels]] non nuls
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> $(\mathbb{R}^{*}, \times)$
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> - $\forall x, y \in \mathbb{R}^{*},$
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> - $x \times y \in \mathbb{R}$
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> - $x \times y = y \times x$
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> - $x \times 1 = x$
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> - si $z = \frac{1}{x}$ alors $z \in \mathbb{R}^{*}$ et $x \times z = 1$
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> [!example]- $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ [[ensemble des matrices]] sur $\mathbb{R}$
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> $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ (matrices $n \times n$)
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> - $(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), +)$ :
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> - $\forall M, N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ :
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> - $M+N = N+M$
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> - $M + 0 = M$
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> - avec $P := -M$, on a $P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \text{ et } M + P = 0$
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> - $(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \times)$ :
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> - [!] $\exists M, N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad M\times N \neq N \times M$ (si $n \geq 2$)
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> - $\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad M \times Id_{n} = M = Id_{n}\times M$
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> - $\exists M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \forall N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad M \times N \neq Id_{n}$ (toutes les matrices ne sont pas [[inverse d'une matrice|inversibles]])
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> [!example]- $(\mathbb{Z}^{*}, \times)$ (n'est pas un groupe)
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> $(\mathbb{Z}^{*, \times})$ n'est pas un groupe
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> Il y à bien un élément neutre : $\forall n \in \mathbb{Z}^{*}, \quad n \times 1 = n$
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> Mais il existe des éléments sans inverse dans $\mathbb{Z}^{*}$ : $2$ n'a pas d'inverse, puisque $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}^{*}$
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> [!example]- $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ (groupe abélien)
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> $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, +)$ est un [[groupe abélien]]
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> le neutre est $\overline{0}$ ($\overline{k} + \overline{0} = \overline{k}$)
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> l'inverse de $\overline{k}$ est $\overline{-k}$
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> [!example]- $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
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> Soit $\mathfrak{S}_{n}$ l'[[ensemble des permutations]] de taille $n$
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> Soit $\circ$ la composition
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> $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$ est un groupe :
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> - commutatif seulement si $n \leq 2$
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> - d'élément neutre $\mathrm{id}_{\{ 1,\dots,n \}}$
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> - L'inverse de $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est sa permutation [[fonction réciproque|réciproque]]
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> [!example]- groupes des fonctions et de leurs morphismes
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> Soit $X$ un ensemble et $(G, *)$ un groupe
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> L'ensemble $\mathscr{F}(X, G) = G^{X}$ des fonctions $X \to G$ muni de la loi $\otimes$ donnée pour $\alpha, \beta \in \mathscr{F}(X, G)$ par $\forall x \in X, \quad (\alpha \otimes \beta )(x) := \alpha(x) * \beta (x)$
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> L'élément neutre est la fonction $\begin{align} e :& X \to G\\ &x \to e_{G}\end{align}$
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> L'inverse de $\alpha \in \mathscr{F}(X, G)$ est $\begin{align} &X \to G\\ &x \mapsto \left[ \alpha(x) \right]^{-1}\end{align}$
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- [ ] vérifier ces propriétés #task [startTime:: 06:00] ⏳ 2024-09-20
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> [!example]- $GL_{n}(\mathbb{R})$ (matrices carrées réelles inversibles de taille $n$)
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> $(GL_{n}(\mathbb{R}), \times)$ est un groupe :
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> - sont élément neutre est $Id_{n}$ la [[matrice identité]] de taille $n$
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> - l'inverse de $M \in GL_{n}(\mathbb{R})$ est la [[inverse d'une matrice|matrice inverse]] $M^{-1}$ : $M^{-1} M = M M^{-1} = Id_{n}$
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> Remarque : L'ensemble $\mathcal{M_{n}(\mathbb{R})}$ des matrices carrées est un groupe pour $+$, d'élément neutre la matrice nulle, et dont l'inverse et la négation.
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> [!example]- groupe des automorphismes d'un [[espace vectoriel]]
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> Soit $V$ un [[espace vectoriel]]
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> Soit $GL(V)$ l'ensemble des [[automorphisme|automorphismes]] de $V$
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> $(GL(V), \circ)$ est un groupe
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> - neutre : $Id_{V}$
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> - inverse : bijection [[fonction réciproque|réciproque]]
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> [!example]- isométries du plan
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> Soit $\mathcal{I}$ l'ensemble des isométries du plan (les bijections qui conservent les longueurs), qui préservent une figure géométrique donnée.
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> $(\mathcal{I}, \circ)$ est un groupe.
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> Si la figure est un polygône régulier à $n$ côtés, ce groupe est le [[groupe diédral]] $D_{n}$ |