cours/courbe paramétrée.md

sr-due, sr-interval, sr-ease

sr-due	sr-interval	sr-ease
2022-09-15	32	305

up::analyse #maths/analyse

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Définition

Une courbe paramétrée plane est une application d'un sous-ensemble D de \mathbb{R} dans \mathbb{R}^{2} $$\begin{align*} f &: D\subset \mathbb{R} \rightarrow R^2\ & t \mapsto f(t) \end{align*}$$

• application qui, à un réel t (le paramètre) associe un point du plan

• On peut aussi écrire que t \mapsto \begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}

• Si on identifie \mathbb{R}^2 à \mathbb{C}, on à t\mapsto x(t)+i \cdot y(t)

  • On associe alors un nombre à un point du plan complexe

Note : malgré le nom de courbe paramétrée, c'est bien une application

• on remarque notamment que l'on à une information en plus de l'ensemble des points : l'ordre de parcours

Notation

On écrit souvent les équations paramétriques de la manière suivante : $$\left{\begin{gathered} x(t)=3\ln(t)\ y(t)=2t^{2}+1 \end{gathered} \right., t\in D$$

• x et y sont des fonctions de D dans \mathbb{R}

On écrit également : z(t)=e^{it}, t\in D

• z est une fonction de D dans \mathbb{C}

Exemples

• t\mapsto (\cos(t); \sin(t)), t\in[0;2\pi[ paramétrisation du cercle trigonométrique
• t\mapsto(2t-3; 3t+1), t\in R paramétrisation de la droite passant par le point A(-3, 1) et de vecteur directeur \vec{u}(2, 3)
• \lambda\mapsto\left((1-\lambda)x_{A}+\lambda x_{B}; (1-\lambda)y_{A} + \lambda y_{B}\right) paramétrisation du segment [AB]

Propriétés

• Support d'une courbe paramétrée
• multiplicité d'un point d'une courbe paramétrée

Représentation des fonctions

Si f est une fonction de D vers \mathbb{R}, on peut paramétriser le graphe de f. On peut donc "traduire" y=f(x) sous forme paramétrique : $$\left{\begin{gathered} x(t)=t\ y(t)=f(t) \end{gathered}\right.$$

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