cours/convergence de l'intégrale d'une combinaison linéaire.md

up:: intégration généralisée title:: "$\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx \text{ CV.} \quad \wedge \quad \int_{a}^{+\infty} g(x) , dx \text{ CV.} \implies \int_{a}^{+\infty} \lambda f(x)+g(x) , dx \text{ CV.}$", "et $\displaystyle \lambda\int_{a}^{+\infty} f(x) , dx + \int_{a}^{+\infty} g(x) , dx = \int_{a}^{+\infty} \lambda f(x)+g(x) , dx$" #maths/analyse

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[!definition] Convergence de l'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions dont l'intégrale converge Soient f et g deux fonctions de C^0_{pm}([a; +\infty[) Si \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx et \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx sont convergentes Alors on sait que \displaystyle\int_{a}^{+\infty} \lambda f(x)+g(x) \, dx converge, et on a : \displaystyle \lambda\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx + \int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx = \int_{a}^{+\infty} \lambda f(x)+g(x) \, dx ^definition

Démonstration

La démonstration se fait simplement grâce a la linéarité de l'intégrale, avec un passage à la limite pour la borne supérieure (en +\infty).