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up:: intégration généralisée title:: "$m(x) \leq f(x) \leq M(x) \implies \int_{0}^{+\infty} m(x) , dx \leq \int_{0}^{+\infty} f(x) , dx \leq \int_{0}^{+\infty} M(x) , dx$" #maths/analyse

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On peut généraliser la intégrales comparées sur des bornes d'intégrales singulières.

[!definition] convergence d'intégrales de fonctions comparées Soit f: ]a, b[ \to \overline{\mathbb{R}} une fonction minorée par m et majorée par M :

• \forall x \in ]a, b[, m(x) \leq f(x) \leq M(x) Si les intégrales de m et M sur [a,b] convergent alors, les intégrales de ces fonctions suivent le même encadrement : \boxed{\int_{a}^{b} m(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} M(x) \, dx}

Note : on peut choisir a et b dans \overline{\mathbb{R}}, ce qui est utile pour montrer la convergence d'intégrales généralisées, simplement en encadrant entre deux intégrales connues. ^definition