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up:: convergence d'une série numérique
title:: "Si \sum\limits u_{n} et \sum\limits v_{n} convergent", "alors \sum\limits (\lambda u_{n} + v_{n}) converge"
#maths/analyse
[!definition] Convergence de la combinaison linéaire de deux séries convergentes Soient
(u_{n})et(v_{n})deux suites Si\sum\limits u_{n}et\sum\limits v_{n}convergence d'une série numérique, alors\forall \lambda \in \mathbb{C}, \quad \sum\limits \left( \lambda u_{n} + v_{n} \right)converge ^definition
Démonstration
Soient S_{n} et T_{n} les somme partielle d'une suite respectives de u et v
Alors, la somme partielle d'ordre n de \sum\limits \lambda u_{n} + v_{n} est \lambda S_{n} + T_{n}
Comme S et T convergent, alors \lambda S_{n} + T_{n} converge vers \lambda \sum\limits (u_{n}) + \sum\limits (v_{n})