cours/comatrice.md

up::matrice #maths/algèbre

[!definition] comatrice Soit A une matrice de taille n La comatrice de A est définie comme : A \times \mathrm{comat}(A) = \det(A)I_{n} ^definition

Calcul des coefficients de la comatrice

Soit A une matrice de taille n\times n.

On pose les coefficients suivants : $$A = \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots&a_{1,n}\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots&a_{2,n}\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots&a_{3,n}\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\ a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&\cdots&a_{n-1,n}\ a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots&a_{n,n}\ \end{pmatrix}$$

On définit E_{i,j} la matrice A sans la ligne i ni la colonne $j$. On définit D_{i,j} = \det(E_{i,j}) le déterminant d'une matrice de E_{i,j} Alors : $$\text{comat}(A) = \begin{pmatrix} D_{1,1}& - D_{1,2}&D_{1,3}&\cdots&-D_{1,n}\ -D_{2,1}&D_{2,2}&-D_{2,3}&\cdots&D_{2,n}\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\ -D_{n,1}&D_{n,2}&-D_{n,3}&\cdots&D_{n,n}\ \end{pmatrix}$$ Les signes forment un damier (le signe change dès qu'on change vers une case voisine)