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up:: forme bilinéaire title:: "b une forme bilinéaire de matrice d'une forme bilinéaire [b]_{\mathcal{O}} dans la base $\mathcal{O}$", "$[b]{\mathcal{P}} = ,^T[\mathcal{P}]{\mathcal{O}}^{-1} \times [b]{\mathcal{O}} \times [\mathcal{P}]{\mathcal{O}}^{-1}$" #maths/algèbre

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[!definition] changement de base d'une forme bilinéaire Soient \mathcal{B} et \mathcal{C} deux base d'un espace vectoriel d'un même espace vectoriel Soit b une forme bilinéaire. Soit M la matrice d'une forme bilinéaire à b dans la base d'un espace vectoriel \mathcal{B} (on peut noter M = [b]_{\mathcal{B}})

On sait que la matrice de b dans la base \mathcal{C} est :

\boxed{[b]_{\mathcal{C}} = \,^T[\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}^{-1} \times M \times [\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}^{-1}}

Démonstration

Soient \mathcal{B} et \mathcal{C} deux base d'un espace vectoriel d'un même espace vectoriel Soit b une forme bilinéaire. Soient X et Y des vecteurs exprimés dans \mathcal{B} Soient X' et Y' des vecteurs exprimés dans \mathcal{C} qui correspondent à X et Y

On sait que b(X, Y) = \,^TX\times[b]_{\mathcal{B}} \times Y

On sait que X' = [\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}X De même pour $Y' = [\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}$$ On note que : \,^TX' = \,^T\left( [\mathcal{C}]_{\mathcal{B}} X \right) = \,^TX\times \,^T[\mathcal{C}]_{\mathcal{B}} (la transposée inverse la multiplication)

Alors :

\begin{align}
b(X',Y') &= \,^TX' \times [b]_{\mathcal{C}} \times Y' \\
&= \,^T([\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}X) \times [b]_{\mathcal{C}} \times ([\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}Y) \\
&= \,^TX\times \,^T[\mathcal{C}]_{B} \times [b]_{\mathcal{C}} \times [\mathcal{C}]_{\mathcal{B}} \times Y \\
\end{align}

Comme b(X', Y') = b(X, Y) On a : \,^T[\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}\times[b]_{\mathcal{C}}\times[\mathcal{C}]_{\mathcal{B}} = [b]_{\mathcal{B}} Et, on en déduit aussi \boxed{[b]_{\mathcal{C}} = \,^T[\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}^{-1} \times [b]_{\mathcal{B}} \times [\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}^{-1}}

X' = [\mathcal{C}]_{\mathcal{B}}X X = [\mathcal{C}]_{B}^{-1}X'

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