cours/base duale d'une famille de formes linéaires.md

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base duale

up:: espace dual d'un espace vectoriel sibling:: base antéduale d'une famille de formes linéaires title:: #maths/algèbre

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[!definition] base duale d'un espace vectoriel Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel n, muni d'une base \mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_{n})

Soit E^{*} l'espace dual d'un espace vectoriel de E.

On note e_k^{*} les vecteurs de \mathcal{B}^{*}, la base duale de $\mathcal{B}$, définis comme :

• e_{j}^{*}(e_{i}) = \delta _{i,j} = [i = j] (crochet d'Iverson, symbole de kronecker)

Alors :

• \mathcal{B}^{*} = (e_{k}^{*} \mid k \in [\![1; n]\!])
• \mathcal{B}^{*} = \big( (e_{i} \mapsto [i = k]) \mid k \in [\![1; n]\!] \big) ^definition

!base duale d'une famille de formes linéaires 2023-01-23 17.35.35.excalidraw

Propriétés

Soient \mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_{n}) une base, et \mathcal{B}^{*} = (e_1^{*}, e_2^{*}, \dots, e_{n}^{*}) sa base duale

• \mathcal{B}^{*} = \big( (e_{i} \mapsto [i = k]) \mid k \in [\![1; n]\!] \big)
• \mathcal{B} = \left(\,^T[e^{*}] \mid e^{*} \in \mathcal{B}^{*}\right) = \left( \,^T[e_{k}^{*}] \mid k \in [\![1; n]\!] \right)

[!definition] Base duale de la base canonique d'un espace vectoriel Si \mathcal{B} est la base canonique (e_1, e_2, \dots, e_{n})

On sait que (e_1; e_2; \dots; e_{n}) = Id_{n} (par définition)

Alors, soit \mathcal{B}^{*} = (e_1^{*}, e_2^{*}, \dots, e_{n}^{*}) la base duale de \mathcal{B}

On sait que (\,^T[e_1^{*}]; \,^T[e_2^{*}]; \dots; \,^T[e_{n}^{*}]) = Id_{n}

Autrement dit, \mathcal{B}^{*} est aussi une base canonique, mais en lignes.