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up::[Orthonormaliser une famille de vecteurs] title:: "projeter chaque vecteur sur les vecteurs orthogonaux précédents" #maths/algèbre

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[!definition] Algorithme de gram schmidt Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel Soit S = \{ u_{1}; u_{2}; \cdots; u_{n} \} une famille de vecteurs de E (avec n < \dim E) Pour Orthonormaliser une famille de vecteurs S, on créée une famille S' = \{ w_{1}; w_{2}; \cdots; w_{n} \} de vecteurs Famille de vecteurs Orthogonale : Soit \mathrm{proj}_{i}(v) = \dfrac{\langle v, i \rangle}{ \langle i, i \rangle } i le projeté orthogonal d'un vecteur

• w_{1} = u_{1}
• w_{2} = u_{2} - \mathrm{proj}_{w_{1}}(u_{2})
• w_{3} = u_{3} - \mathrm{proj}_{w_{1}}(u_{3}) - \mathrm{proj}_{w_{2}}(u_{3})
• w_{4} = u_{4} - \mathrm{proj}_{w_{1}}(u_{4}) - \mathrm{proj}_{w_{2}}(u_{4}) - \mathrm{proj}_{w_{3}}(u_{4})
• \vdots
• u_{k} = w_{k} - \sum\limits_{i=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{w_{i}}(u_{k}) On créée ensuite la Famille de vecteurs orthonormale O = \{ e_{1}; e_{2}; \cdots; e_{n} \} en linéarisant S'
• e_{1} = \dfrac{1}{\|w_{1}\|}w_{1}
• e_{2} = \dfrac{1}{\|w_{2}\|}w_{2}
• \vdots
• e_{k} = \dfrac{1}{\|w_{k}\|}w_{k} O est donc la famille Orthonormaliser une famille de vecteurs à partir de S ^definition