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up::[[espace vectoriel]]
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#maths/algèbre
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> [!definition] norme
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> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps commutatif]] muni d'une [[valeur absolue]]
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> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
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> Une **norme** sur $E$ est une [[application]] $\mathcal{N}$ de $E \to \mathbf{K}$ qui satisfait :
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> - [[espace séparé|séparation]] : $\forall x \in \mathbf{E}, \quad \mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0_{E}$
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> - la [[réciproque (logique)|réciproque]] est vraie aussi
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> - absolue [[application homogène|homogénéité]] : $\forall (\lambda, x) \in K \times E, \quad \mathcal{N}(\lambda x) = |\lambda|\mathcal{N}(x)$
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> - [[inégalité triangulaire]] ([[application sous-additive]]) : $\forall (x, y) \in \mathbf{E}^{2}, \quad \mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$
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^definition
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> [!definition] Norme Euclidienne sur $\mathbb{R}^{n}$
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> Soit $\vec{v} \in \mathbb{R}^{n}$ un vecteur
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> On note $\|\vec{v}\|$ la norme de $\vec{v}$, et on a :
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> $\|\vec{v}\| = \sqrt{ \sum\limits_{k=1}^{n} (\vec{v}_{k})^{2} }$
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# Propriétés
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> [!info] Positivité
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> Toute norme est toujours positive :
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> $\forall x \in E, \quad \mathcal{N}(x) \geq 0$
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> [[démonstration positivité de toute norme|démonstration]]
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> [!info] normes sur des produits d'espaces
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> Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]], et $\|\cdot \|_{E}$ (resp. $\|\cdot \|_{F}$) une norme sur $E$ (resp. sur $F$).
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> Alors $E \times F$ est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]], et on peut définir des normes sur $E\times F$, par exemple :
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> $\forall e, f \in E \times F,$
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> - $\|(e, f)\|_{1} = \|e\|_{E} + \|f\|_{F}$
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> - $\|(e, f)\|_{2} = \sqrt{ \|e\|_{E}^{2} + \|f\|_{E}^{2} }$
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> - $\|(e, f)\|_{\infty } = \max(\|e\|_{E}, \|f\|_{F})$
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> - $\vdots$
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