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#maths/analyse
Exercice 3
On considère la suite de fonctions (P_{n})_{n\in \mathbb{N}} définie sur [0, 1] par :
$$\begin{cases}
P_0(x) = 0 \
P_{n+1}(x) = P_{n}(x) + \dfrac{1}{2} \left( x - (P_{n}(x))^{2} \right)
\end{cases}$$
1)
Montrer que pour tout
n \in \mathbb{N}et toutx \in [0, 1], on a\sqrt{ x } - P_{n+1}(x) = \left( \sqrt{ x } - P_{n}(x) \right) \left( 1 - \frac{\sqrt{ x }+P_{n}(x)}{2} \right)
$$\begin{align} \sqrt{ x } - P_{n+1}(x) &= \sqrt{ x } - P_{n}(x) - \frac{1}{2}\left( x - (P_{n}(x))^{2} \right) \ &= \sqrt{ x } - P_{n}(x) - \frac{1}{2}\left( \sqrt{ x }^{2} - (P_{n}(x))^{2} \right) \ &= \sqrt{ x }-P_{n}(x) - \frac{1}{2}\left( \sqrt{ x }+P_{n}(x) \right) \left( \sqrt{ x }-P_{n}(x) \right) \ &= \left( \sqrt{ x }-P_{n}(x) \right) \left( 1 - \frac{1}{2}\left( \sqrt{ x } + P_{n}(x) \right) \right) \ &= \left( \sqrt{ x }-P_{n}(x) \right) \left( 1 - \frac{\sqrt{ x } + P_{n}(x)}{2} \right) \end{align}$$
En déduire que
\forall x \in [0, 1], \forall n \in \mathbb{N}, \quad 0 \leq P_{n}(x) \leq \sqrt{ x }
On utilise une démonstration par réccurence.
Initialisation
Soit \mathscr{F}_{n}: \forall x \in [0, 1], 0 \leq P_{n}(x) \leq \sqrt{ x }
pour n = 0, on a : \mathscr{F}_{0}: 0 \leq P_0(x) \leq \sqrt{ x } \iff 0 \leq 0 \leq \sqrt{ x }
ce qui est toujours vrai pour x \in [0, 1]. Donc \mathscr{F}_{0} est vraie.
Hérédité
On cherche a montrer que \forall n \in \mathbb{N}, \mathscr{F}_{n} \implies \mathscr{F}_{n+1}. Pour cela, on suppose que \mathscr{F}_{n} est vraie pour un rang n. On cherche alors à montrer \mathscr{F}_{n+1} :
$$\begin{align}
\mathscr{F}{n+1} &: 0 \leq P{n+1} \leq \sqrt{ x } \
&: 0 \leq \sqrt{ x } - P_{n+1} \leq \sqrt{ x } \
&: 0 \leq \left( \sqrt{ x } - P_{n}(x) \right)\left( 1 - \frac{\sqrt{ x } + P_{n}(x)}{2} \right) \leq \sqrt{ x } \
\end{align}$$
Or, comme on suppose que \mathcal{F}_{n} est vraie, on sait que 0 \leq P_{n} \leq \sqrt{ x }.
Donc :
0 \leq \sqrt{ x } - P_{n}(x) \leq \sqrt{ x }
\sqrt{ x } \leq \sqrt{ x } + P_{n}(x) \leq 2\sqrt{ x }
\displaystyle 1 - \sqrt{ x } \leq 1 - \frac{\sqrt{ x } + P_{n}(x)}{2} \leq 1 - \frac{1}{2}\sqrt{ x }
Or, 0 \leq 1 - \sqrt{ x }, et 1 - \frac{1}{2}\sqrt{ x } \leq 1 car x \in [0, 1]
Donc, on a bien 0 \leq \left( \sqrt{ x }-P_{n}(x) \right) \left( 1 - \dfrac{\sqrt{ x }+P_{n}(x)}{2} \right) \leq 1
Et donc, \mathscr{F}_{n+1} est vraie.
Conclusion
Comme on a \mathscr{F}_{0} vraie et \forall n \in \mathbb{N}, \mathscr{F}_{n} \implies \mathscr{F}_{n+1}, on sait par réccurence que \forall n \in \mathbb{N}, \mathscr{F}_{n}, c'est-à-dire que 0 \leq P_{n}(x) \leq \sqrt{ x } quel que soit n \in \mathbb{N}.