167 lines
3.9 KiB
Markdown
167 lines
3.9 KiB
Markdown
---
|
||
difficulty: 6
|
||
due: 2023-02-03
|
||
---
|
||
up:: [[devoirs]]
|
||
title::
|
||
link:: [[L2_info_matrices_ex_0.pdf]]
|
||
#devoir-fait
|
||
|
||
---
|
||
|
||
# Exercice 0.9
|
||
|
||
## 1.
|
||
1. Donner les racines réelles des polynômes suivants et les factoriser :
|
||
$P(X) = X^{2}+X-6$
|
||
$Q(X) = X^{2}-8X+16$
|
||
$R(X)=X^{2}+2X+2$
|
||
|
||
### Racines de $P$
|
||
$P(X) = X^{2}+X-6$
|
||
|
||
Une racine évidente de $P(X)$ est $2$ : $P(2) = 2^{2}+2-6 = 0$.
|
||
|
||
On fait la division de polynômes :
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{array}{ccc|l}
|
||
X^{2} &+ X &- 6 & X-2 \\
|
||
\hline
|
||
-(X^{2} &- 2X)&&X + 3\\
|
||
&3X&-6& \\
|
||
&-(3X&-6)& \\
|
||
&&0
|
||
\end{array}
|
||
$$
|
||
Donc, $P(X) = (X-2)(3X-6) = 3(X-2)(X-3)$, et donc les racines de $P$ sont $2$ et $3$.
|
||
|
||
### Racines de $Q$
|
||
$Q(X) = X^{2}-8X+16$
|
||
|
||
$\Delta = 8^{2}-4\times 16 = 0$, donc $Q$ admet une seule racine.
|
||
|
||
On remarque que $4$ est une racine évidente, $Q(4)=0$. Comme $\Delta = 0$, on sait que $4$ est une racine de multiplicité $2$.
|
||
|
||
### Racines de $R$
|
||
$R(X)=X^{2}+2X+2$
|
||
|
||
$\Delta = 2^{2}-4\times 2 = -4 < 0$, donc $R$ n'admet aucune racine réelle.
|
||
|
||
|
||
|
||
## 2.
|
||
2. Factoriser le polynôme
|
||
|
||
$P(X) = X^{4}-2X^{3}+X = X(X^{3}-2X^{2}+1)$
|
||
|
||
On voit qu'une racine évidente de $P$ est $1$, car $(1)^{3}-2(1)^{2}+1 =0$. Donc, $X^{3}-2X^{2}+1$ est divisible par $X-1$
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{array}{cccc|l}
|
||
X^{3} & -2X^{2} & & +1 & X-1 \\
|
||
\hline
|
||
-(X^{3}&-X^{2})&&&X^{2}-X-1 \\
|
||
&-X^{2}&&+1 \\
|
||
&-(-X^{2}&+X)&& \\
|
||
&&-X&+1& \\
|
||
&&-(-X&+1)& \\
|
||
&&&0
|
||
\end{array}
|
||
$$
|
||
|
||
Donc, $P(X) = X(X-1)(X^{2}-X-1)$
|
||
|
||
On cherche à factoriser $X^{2}-X-1$
|
||
|
||
$\Delta = 1^{2} - 4\times 1\times (-1) = 5$
|
||
|
||
Donc : $X^{2} - X - 1 = \left( X - \frac{1-\sqrt{ 5 }}{2} \right) \left( X - \frac{1+\sqrt{ 5 }}{2} \right)$
|
||
|
||
Si on note $\varphi = \frac{1+\sqrt{ 5 }}{2}$ et $\varphi' = \frac{1-\sqrt{ 5 }}{2}$, on obtient :
|
||
|
||
$\boxed{P(X) = X(X - 1)(X - \varphi)(X-\varphi')}$
|
||
|
||
## 2.
|
||
|
||
On considère le polynôme $P(X) = X^5 − X^4 − X^3 − X^2 + 4X − 2$.
|
||
Montrer que 1 est racine triple de P. En déduire une factorisation de P.
|
||
|
||
### $1$ est racine triple de $P$
|
||
|
||
$P(1) = (1)^{5} - (1)^{4} - (1)^{3} - (1)^{2}+4(1) - 2 = -2 + 4 - 2 = 0$, donc $1$ est racine de $P$
|
||
|
||
$P'(X) = 5X^{4} - 4X^{3} - 3X^{2}-2X+4$
|
||
$P'(1) = 5 - 4 - 3 - 2 + 4 = 0$, donc $1$ est au moins racine double de $P$
|
||
|
||
$P''(X) = 20X^{3} - 12X^{2} - 5X - 2$
|
||
$P''(1) = 20 - 12 - 6 - 2 = 0$, donc $1$ est au moins racine triple de $P$
|
||
|
||
$P^{(3)}(X) = 60X^{2} - 24X - 5$
|
||
$P^{(3)}(1) = 60 - 24 - 5 = 31 \neq 0$, donc $1$ n'est pas racine de multiplicité $4$.
|
||
|
||
$1$ est bien une racine de multiplicité $3$ de $P$. On en déduit que $P$ est divisible par $(X-1)^{3} = X^{3} - 3X^{2} + 3X - 1$
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{array}{cccccc|l}
|
||
X^{5}&-X^{4}&-X^{3}&-X^{2}&+4X&-2 & X^{3} - 3X^{2} + 3X - 1 \\
|
||
\hline
|
||
-(X^{5}&-3X^{4}&+3X^{3}&-X^{2})&&&X^{2} + 2X + 2\\
|
||
&2X^{4}&-4X^{3}&&+4X&-2& \\
|
||
&-(2X^{4}&-6X^{3}&+6X^{2}&-2X) & \\
|
||
&&2X^{3}&-6X^{2}&+6X&-2 \\
|
||
&&-(2X^{3}&-6X^{2}&+6X&-2)& \\
|
||
&&&&&0
|
||
\end{array}
|
||
$$
|
||
|
||
Donc, $P(x) = (X - 1)^{3}(X^{2}+3X+2)$
|
||
|
||
On cherche à factoriser $X^{2}+3X+2$
|
||
|
||
$\Delta = 3^{2}-4\times 2 = 1 > 0$, donc :
|
||
|
||
$X^{2} + 3X + 2 = \left( X - \frac{-3-\sqrt{ 1 }}{2} \right)\left( X - \frac{-3+\sqrt{ 1 }}{2} \right) = (X + 2)(X + 1)$
|
||
|
||
Donc, on a :
|
||
|
||
$\boxed{P(X) = (X-1)^{3}(X+1)(X+2)}$
|
||
|
||
# Exercice 0.10
|
||
|
||
Soit $f$ l'application linéaire de $\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$ définie par :
|
||
|
||
$f(x_1; x_2; x_3) = (x_1-x_3; 2x_1+x_2-3x_3; -x_2-2x_3)$
|
||
|
||
$f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}x_1-x_3\\2x_1+x_2-3x_3\\-x_2-2x_3\end{pmatrix}$
|
||
|
||
|
||
Soit $(e_1; e_2; e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$.
|
||
|
||
## 1.
|
||
1. calculer $f(e_1)$, $f(e_2)$ et $f(e_3)$
|
||
|
||
$f(e_1) = (1 - 0; 2 + 0 - 0; -0-0) = (1; 2; 0)$
|
||
|
||
$f(e_2) = (0; 1; -1)$
|
||
|
||
$f(e_3) = (-1; -3; -2)$
|
||
|
||
On sait alors que la représentation matricielle de $f$ dans la base canonique est :
|
||
|
||
$[f]_{(e_1; e_2; e_3)} = (f(e_1), f(e_2), f(e_3)) = \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 2&1&-3\\ 0&-1&-2\end{pmatrix}$
|
||
|
||
|
||
|
||
# Réglages
|
||
|
||
A rendre pour le
|
||
```meta-bind
|
||
INPUT[date:due]
|
||
```
|
||
|
||
Difficulté :
|
||
```meta-bind
|
||
INPUT[slider(minValue(0), maxValue(10)):difficulty]
|
||
```
|