cours/équation paramétrique d'une droite affine.md

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droite comme ensemble de vecteurs selon un paramètre

up:: barycentre d'un système de points pondérés title:: "$(AB) = { M \in \mathbb{R}^{2} \mid \overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{OA} + (1-t)\overrightarrow{OB} ;\wedge; t \in \mathbb{R}}$", "quelque soit O (origine dans le calcul)" #maths/géométrie

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[!definition] Droite dirigée par un vecteur et passant par un point Soit \mathcal{E} un $\mathbb{R}^{2}$-espace affine Soit \vec{v} \in \mathbb{R}^{2} un vecteur et A\in \mathcal{E} un point Soit d = (\vec{v}; A) la droite dirigée par \vec{v} et passant par A une équation paramétrique de d est : d = \{ M \in \mathcal{E} \mid \overrightarrow{AM} = t\vec{v} \quad\wedge\quad t \in \mathbb{R}\} !équation paramétrique affine d'une droite 2022-12-29 18.44.11.excalidraw ^definition

[!definition] Droite passant par deux points Soit \mathcal{E} un $\mathbb{R}^{2}$-espace affine Soient O, A et B des points de \mathcal{E} On peut trouver une courbe paramétrée de la droite (AB) comme un ensemble de points selon un paramètre t (AB) = \{ M \in \mathcal{E} \mid \overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{OA} + (1-t)\overrightarrow{OB} \quad \wedge \quad t \in \mathbb{R} \} !équation paramétrique affine d'une droite 2022-12-29 18.53.00.excalidraw

Démonstration

\begin{align}
\overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{OA} + (1-t)\overrightarrow{OB} &\iff \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (t-1)\overrightarrow{OA} + (1-t)\overrightarrow{OB} \\
&\iff \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (t-1) \left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \right)\\
&\iff \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (t-1) \overrightarrow{BA} \\
&\iff \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{AO} = (1-t)\overrightarrow{AB} \\
&\iff \overrightarrow{AM} = (1-t)\overrightarrow{AB}
\end{align}

Donc les vecteurs \overrightarrow{AM} sont bien l'ensemble des vecteurs colinéaires à \overrightarrow{AB}, et définissent bien la doite (AB)