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sr-due, sr-interval, sr-ease
| sr-due | sr-interval | sr-ease |
|---|---|---|
| 2022-10-31 | 46 | 255 |
up::équation différentielle du second ordre, équation différentielle à coefficients constants
title:: "ay'' + by' + cy = f(x) avec $a \neq 0$"
#maths/algèbre
équation différentielle dans laquelle seule les dérivées successives apparaîssent
Forme
Forme usuelle
La forme la plus commune est : ay'' + by' + cy = f(x) avec a\neq0
- peut se ramèner à
y'' + ay' + by = f(x)
Equation avec condition initiale
Soit (E) une équation différentielle du second ordre a coefficients constants de la forme quelconque :
(E): \Gamma(y'', y', y) = f(x)
On donne des conditions initiales à (E) lorsque l'on fixe des valeurs pour lesquelles on donne l'image par y (ou par ses dérivées) :
Exemples : \left\{\begin{gathered} y(x_{0}) = y_{0}\\ y(x_{1}) = y_{1}\end{gathered}\right. ou \left\{\begin{gathered} y(x_{0}) = y_{0}\\ y'(x_{1}) = y_{1} \\ y''(x_{2}) = y_2 \end{gathered}\right.
On donne souvent l'image par y et y' d'une même valeur : \left\{ \begin{gathered} y(x_{0}) = y_{0}\\ y'(x_{0}) = y_{1} \end{gathered}\right.
Propriété : pour des conditions initiales de la forme y(x_{0}) = y_{0} et y'(x_{0}) = y_{1}, il existe une unique solution à l'équation
Résolution
Soient (1) et (2) deux équations de équation différentielle du second ordre a coefficients constants#Forme usuelle (a \neq 0):
(1) :\quad ay_{1}'' + by_{1}' + cy_{1} = f(x)
(2):\quad ay_{2}'' + by_{2}' + cy_{2} = f(x)
(1)-(2) : a(y_{1}-y_{2})'' + b(y_{1}-y_{2})' + c(y_{1}-y_{2}) = 0 (équation différentielle#Equation Homogène)
Donc, comme pour les équation différentielle du premier ordre, connaître la solution pour l'équation sans second membre, ainsi qu'une solution particulière, permet de connaître (par somme) la forme de l'ensemble des solutions
Equation sans second membre
(H): ay'' + by' + cy = 0
On cherche une solution de la forme y = e^{rx} (r \in \mathbb{C} une constante)
En substituant y dans (H), on obtient :
e^{rx}( ar^{2} + br + c ) = 0
Or, e^{rx} ne s'annule pas, donc :
(H) \iff ar^{2} + br +c = 0
Polynôme caractéristique
On cherche donc les racines d'un polynôme de P(r) = ar^{2}+br+c le polynôme caractéristique
deux racines réelles
On appelle r_{1} et r_{2} ces deux racines distinctes ((r_{1},r_{2})\in \mathbb{R}^{2})
Donc les solutions de l'équation (H) sont :
y_{1} = e^{r_{1}x}, y_{2}=e^{r_{2}x}
Puisque (H) est équation différentielle#Equation Homogène, les solutions sont des combinaison linéaire de y_{1} et y_{2} :
\boxed{S_{H} = \big\{c_{1}e^{r_{1}x} + c_{2}e^{r_{2}x} \big| (c_{1};c_{2}) \in \mathbb{R}^{2}\big\}}
une racine double
Si \Delta = 0 (le discriminant)
On note s cette racine : P(s) = 0
On a aussi P'(s) = 0
Donc \boxed{y_{1} = e^{sx}} est solution de (H)
On pose \boxed{y_{2} = xe^{sx}}, et on montre que y_{2} est aussi solution
y_{2}' = e^{sx}(sx + 1)y_{2}'' = e^{sx}(s^{2}x + 2s)\begin{align*} ay_{2}'' + by_{2}' + cy_{2} &= e^{sx}(a(s^{2}x + 2s) + b(sx + 1) + cx)\\ &= e^{sx}(\underbrace{(as^{2}+bs+c)}_{=P(s) = 0}x + \underbrace{(2as + b)}_{=P'(s)=0}) \end{align*}- Donc,
y_{2}est annule bien(H)
Puisque (H) est équation différentielle#Equation Homogène, les solutions sont des combinaison linéaire de y_{1} et y_{2} :
\boxed{S_{H} = \big\{ e^{sx}(c_{1}+c_{2}x) \big| (c_{1}; c_{2}) \in \mathbb{R} \big\}}
deux racines complexes
Les deux racines sont \lambda, \overline{\lambda}
Dans ce cas, \lambda et \lambda sont conjugé complexe
\lambda = \alpha+i \beta et \overline{\lambda} = \alpha - i \beta (avec (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2})
Donc, les solutions de (H) sont :
y_{1} = e^{\lambda x} = e^{(\alpha+i \beta)x} = e^{\alpha x + i \beta x} = \boxed{e^{\alpha x}(\cos(\beta x) + i \sin(\beta x))}
y_{2} = e^{\overline{\lambda}x} = \boxed{e^{\alpha x}(\cos(\beta x) - i \sin(\beta x))}
Puisque (H) est équation différentielle#Equation Homogène, les solutions sont des combinaison linéaire de y_{1} et y_{2} :
S_{H} = \big\{x \mapsto e^{\alpha x}(c_{1} \cos(\beta x) + \underbrace{c_{2}\sin(\beta x)}_{\text{le } i \text{ est inclus dans } c_{2}}) \big| (c_{1}; c_{2})\in \mathbb{C} \big\}
Si on veut les solutions réelles, on obtient :
\boxed{S_{H}= \Big\{\big( x \mapsto e^{\alpha x} (d_{1} \cos(\beta x) + d_{2} \sin(\beta x)\big) \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\Big| (d_{1}; d_{2}) \in \mathbb{R} \Big\}}
Résumé
Soit une équation :
(H): ay'' + by' + cy = 0
On cherche une solution de la forme e^{rx} \quad\text{ avec } r \in \mathbb{C}
Soit \Delta = b^{2}-4ac le discriminant de P(x) = ax^{2}+ bx+c (le équation différentielle du second ordre a coefficients constants#Polynôme caractéristique)
\Delta |
racines | forme des solutions |
|---|---|---|
\Delta > 0 |
(r_{1},r_{2})\in \mathbb{R}^{2} |
c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x},\quad(c_{1},c_{2})\in \mathbb{R} |
\Delta=0 |
s \in \mathbb{R} |
e^{sx}(c_{1}+c_{2}x),\quad (c_{1},c_{2})\in \mathbb{R} |
\Delta<0 |
(\lambda,\overline{\lambda})\in \mathbb{C}^{2} |
e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+ic_{2}\sin(\beta x)), \quad (c_{1};c_{2}) \in \mathbb{R} \quad \lambda = \alpha+i \beta |
Equation avec second membre
Soit l'équation (E): ay'' + by' + cy = f(x)
On cherche une solution particulière
On connaît les solutions de (H): ay''+by'+cy=0
On appelle y_{h} une de ces solutions
Soit y_{p} une solution particulière de (E)
On a :
S = \left\{(x \mapsto y_{p} + y_{h})\right\}
- Si
fest compliquée, on peut décomposer(E)en plusieurs équations :
az_{1}''+bz_{1}' + cz_{1} = f_{1}(x)
az_{2}''+bz_{2}' + cz_{2} = f_{2}(x)
\vdots
az_{k}''+bz_{k}' + cz_{k} = f_{k}(x)
(où f(x) = \sum\limits_{i=1}^{k}f_{i}(x))
Ensuite, on obient :
a\sum\limits z''_{i} + b \sum\limits z'_{i} + c \sum\limits z_{i} = \sum\limits f_{i}
donc : y = \sum\limits_{i=1}^{k} z_i
Voici quelques formes usuelles pour f
Second membre de la forme f(x)=e^{\lambda x} R(x)
avec \lambda \in \mathbb{R} et R(x) \in \mathbb{R}[x] (parfois \mathbb{C}[x])
On cherche une solution particulière de la forme y_{p}(x)=e^{\lambda x} Q(x) où Q \in \mathbb{R}[x]
- Si
\lambdan'est pas une racine du équation différentielle du second ordre a coefficients constants#Polynôme caractéristiqueP(siP(\lambda) \neq 0)\deg Q = \deg R
- Si
\lambdaest une multiplicité d'une racine#Racine simple deP\deg Q_{1} = \deg RavecQ_{1} \in \mathbb{R}[x]- on pose
Q(x) = xQ_{1}(x)
- Si
\lambdaest une multiplicité d'une racine deP\deg Q_{2} = \deg RavecQ_{2} \in \mathbb{R}[x]- on pose
Q(x) = x^{2}Q_{2}(x)
Trouver les coefficients de Q
on trouve les coefficients de Q par identification : on remplace y par y_{p}=e^{\lambda x} R(x) dans l'expression de (E)
ay_{p}''(x) + by_{p}'(x) + cy_{p}(x) = e^{\lambda x} R(x) avec y_{p} = e^{\lambda x}Q(x)
On obtient un système dont les variables sont les coefficients de R et \lambda
Second membre de la forme f(x) = e^{rx}\cos(sx)R(x) ou f(x) = e^{rx}\sin(sx)R(x)
où r \in \mathbb{R} et R \in \mathbb{R}[x]
Forme f(x) = e^{rx}\cos(sx) R(x)
\begin{align} f(x) &= \text{Re}\big(f(x)\big) \qquad \text{(car } f \text{ est une fonction réelle)}\\ &= \text{Re}\big(e^{rx} \cos(sx) R(x)\big)\\ &= \text{Re}\big( e^{rx}(\cos(sx) + i \sin(sx))R(x) \big)\\ &= \text{Re}\big( e^{rx}e^{isx}R(x) \big)\\ &= \boxed{\text{Re}\big(e^{(r+is)x}R(x)\big)} \end{align}
On se ramène donc à la équation différentielle du second ordre a coefficients constants#Second membre de la forme f x e lambda x R x : e^{\lambda x} R(x) (ici \lambda = r+is)
en considérant uniquement la partie réelle de la fonction
Forme f(x) = e^{rx}\sin(sx) R(x)
\begin{align} f(x) &= \text{Re}\big(f(x)\big) \qquad \text{(car } f \text{ est une fonction réelle)}\\ &= \text{Re}\big(e^{rx} \sin(sx) R(x)\big)\\ &= \text{Im}\big( e^{rx}(\cos(sx) + i \sin(sx))R(x) \big)\\ &= \text{Im}\big( e^{rx}e^{isx}R(x) \big)\\ &= \boxed{\text{Im}\big(e^{(r+is)x}R(x)\big)} \end{align}
On se ramène donc à la équation différentielle du second ordre a coefficients constants#Second membre de la forme f x e lambda x R x : e^{\lambda x} R(x) (ici \lambda = r+is)
en considérant uniquement la partie réelle de la fonction (qui est la partie imaginaire d'une autre fonction)